ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА
Источник:
Оценка качества формулы приближенного интегрирования при функционально-аналитическом подходе предполагает использование критерия минимальности нормы функционала погрешности в соответствующем пространстве. Нормы функционалов определяются через экстремальные функции, которые являются обобщенными решениями некоторых дифференциальных уравнений в частных производных. Дифференциальный оператор такого уравнения порождается видом нормы функции в основном пространстве. Задачи этого круга восходят своими истоками к работам С.Л.Соболева 60-70 гг., где теория оценивания погрешности приближенного интегрирования была построена для гильбертовых пространств [1], [2]. Дальнейшее обобщение происходило одновременно в направлениях от к ( ) В.И.Половинкиным [3] и от факторизации к Ц.Б.Шойнжуровым [4]. Теория для негильбертова показателя суммируемости разработана Ц.Б.Шойнжуровым [5], и независимо ряд сходных результатов получен М.Д.Рамазановым [6]. При разработке теории в вводились специальные способы нормирования пространства с помощью преобразования Фурье фундаментального решения известного дифференциального оператора. Разработка теории для пространств с естественными нормами, являющимися прямым обобщением норм из начата Ц.Б.Шойнжуровым [7] и продолжена нами [8]. В настоящее время исследования распространяются на функциональные пространства с нормами, осложненными весовыми функциями. Данная работа посвящена нахождению представлений линейных функционалов в весовом пространстве Соболева через суммируемые функции. Наличие представлений функционалов погрешности кубатурных формул в исследуемых пространствах позволяет получать оценки погрешности численного интегрирования для этих классов функций, в некоторых случаях неулучшаемые.
Предварительные сведения.
Пространство определяется как замыкание пространства S Шварца в норме
,(1)
где - весовая функция произвольного знака, такая, что произведения суммируемы в p-й степени. Отметим, что в работах [1], [5] и других применялась весовая функция, неотрицательная на всей области определения.
Оператор , где Δ - оператор Лапласа, порождается нормой [5]
, (2)
Оператор порождается нормой [8]
, (3)
Результаты.
Теорема 1. Фундаментальные решения и операторов и принадлежат пространству , , , .
Доказательство основано на оценках производных , , приведенных в [9], и на свойствах множителя Марцинкевича, каковым является отношение образов Фурье этих операторов . Благодаря последнему факту оценки производных оказываются справедливыми для , что дает для -норм
, .
Принадлежность всех производных фундаментального решения весовому пространству влечет утверждение теоремы.
Отметим, что условие определяет вложение рассматриваемого пространства в пространство непрерывных функций, и что при этом условии существуют интегралы, оценивающие производные фундаментальных решений в окрестности начала координат. Условие непрерывности обязательно в теории кубатурных формул, так как дельта-функции функционала кубатурной суммы действуют на непрерывные функции.
Следствие. Свертка фундаментального решения с функционалом принадлежит пространству . Такая свертка является решением линейного дифференциального уравнения в обобщенных функциях, в частности образованного каким-либо из рассматриваемых операторов, когда правая часть равна функционалу .
Теорема 2. Существует представление линейного функционала в весовом пространстве Соболева через фундаментальное решение
.
Доказательство проводится с применением неравенств Гельдера для сумм и интегралов, что приводит к оценке, основанной на утверждении следствия из теоремы 1
Замечание. В фактор-пространствах , где подобные представления содержат частные производные только высшего порядка, нормы и представления являются однородными, иными словами функционалы в этих пространствах представлены билинейными формами.
Теорема 3. Существует представление линейного функционала в весовом пространстве Соболева через экстремальную функцию
Доказательство основано на приведении вариационной задачи к дифференциальному уравнению в обобщенных функциях, в котором экстремальная функция функционала удовлетворяет условию . Отправным положением является то, что в рефлексивном пространстве, каким является при максимум функционала, равный его норме, достигается на единичной сфере
.
Составленная функция является непрерывной по параметру t. С использованием необходимого условия экстремума и с учетом единичности нормы функции выводится искомое представление. Функции φ0 и ψ0 связаны равенством .
Правомерность дифференцирования под знаком интеграла установлена при помощи оценок, содержащих нормы функций. Единственность решения уравнения установлена при помощи неравенств для весовых пространств Соболева, обобщающих неравенства Кларксона.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. - М.: Наука, 1974.
- Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.
- Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Л., 1979.
- Шойнжуров Ц.Б. Оценка функционалов погрешности кубатурной формулы в пространствах с нормой, зависящей от младших производных: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Новосибирск, 1967.
- Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Улан-Удэ, 1981.
- Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. - Уфа: Башгосуниверситет, 1973.
- Шойнжуров Ц.Б. Решение одного класса квазилинейных уравнений второго порядка эллиптического типа в неограниченной среде // Математический анализ и дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск, 1992. - С. 109-113.
- Корытов И.В. Оценка функционалов погрешности кубатурных формул в функциональных пространствах Соболева: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Красноярск, 1997.
- Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1977 .
Отзывы (через Facebook):
Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:
Статья в формате PDF 133 KB...
26 09 2020 11:53:19
Статья в формате PDF 107 KB...
24 09 2020 18:35:51
Авторами проведено комплексное исследование сосудистых и нервных структур всего органокомплекса брюшной полости, что позволило подтвердить общие морфологические закономерности, свойственные млекопитающим отряда хищных, выявить характерные видовые и внутривидовые особенности васкуляризации и иннервации у пушных зверей клеточного содержания. Полученные новые данные о морфологии сосудистых и нервных образований органов брюшной полости млекопитающих являются оригинальными и дают не только полное представление об изученных структурах, но позволяют морфофункционально интерпретировать адаптогенные процессы, протекающие в интегративно-координационных системах организма пушных зверей, находящихся под интенсивным антропогенным воздействием в процессе доместикации. ...
23 09 2020 12:14:27
Статья в формате PDF 244 KB...
22 09 2020 18:34:20
Статья в формате PDF 321 KB...
21 09 2020 3:58:34
Статья в формате PDF 289 KB...
20 09 2020 1:53:53
Статья в формате PDF 111 KB...
19 09 2020 7:23:55
Проведено исследование ведущих показателей метаболизма порфиринов и железа в сопоставлении с функциональным состоянием печени у 100 больных с гемохроматозом ( Г Х), в динамике. Дана объективная оценка их роли в своевременной и правильной постановке вторичной печеночной порфирии на ранних этапах развития патологического процесса. Порфириновый обмен при наследственном гемохроматозе ( Н Г Х) характеризуется глубоко нарушенными и нестабильными показателями, затрагивающими все этапы синтеза гема гемоглобина (Hb). У больных с Н Г Х и с сопутствующими поздней кожной порфирией ( П К П) и инфекционными вирусными гепатитами В и С, независимо от типа мутации гена HFE ( С289Y или H63D) изменения в обмене железа коррелируют с нарушенным синтезом аминолевулиновой кислоты ( А Л К) и порфобилиногена ( П Б Г). У больных диагностическую ценность в определении функционального состояния печени наряду с трансаминазами представляет исследование экскреции копропорфирина ( К П) с мочой. Выявленные изменения в порфириновом обмене при гомозиготной форме Н Г Х носят постоянный, часто необратимый характер, ухудшая прогноз заболевания. ...
18 09 2020 4:30:52
Статья в формате PDF 104 KB...
16 09 2020 15:55:37
Статья в формате PDF 121 KB...
15 09 2020 22:55:36
Статья в формате PDF 113 KB...
14 09 2020 16:23:11
Статья в формате PDF 98 KB...
13 09 2020 1:21:24
Статья в формате PDF 300 KB...
12 09 2020 10:56:40
Статья в формате PDF 253 KB...
11 09 2020 16:57:52
Статья в формате PDF 100 KB...
10 09 2020 8:35:14
Статья в формате PDF 114 KB...
09 09 2020 17:22:39
Статья в формате PDF 123 KB...
06 09 2020 11:43:55
Статья в формате PDF 101 KB...
05 09 2020 7:11:11
При управлении автоматическими космическими аппаратами ( К А) важной проблемой является обеспечение надежного и оперативного анализа и диагностирования работоспособности бортовых систем. Это позволит своевременно выявить негативные тенденции в работе бортовой аппаратуры и предотвратить их развитие. Наибольшую актуальность проблема приобретает при управлении К А со сложными бортовыми системами, характеризующимися большим объемом телеметрических параметров, а так же при необходимости выдачи командных воздействий непосредственно в сеансах связи. Существующий опыт управления К А показывает, что в ряде случаев только своевременная выдача команд немедленного исполнения позволила обеспечить выполнение программы полета К А [1]. В настоящей работе предлагается общий подход к решению указанной проблемы, основанный на создании адекватных моделей анализа и диагностики функционирования бортовых систем и алгоритмов автоматизированной выработки рекомендаций по воздействию на К А. Ожидается, что использование в практике управления таких моделей и алгоритмов даст возможность существенно повысить эффективность работы аппаратуры, в том числе за счет оперативного устранения возникающих на борту нештатных ситуаций. ...
04 09 2020 20:46:13
Статья в формате PDF 285 KB...
02 09 2020 14:32:57
Статья в формате PDF 118 KB...
01 09 2020 23:19:17
В статье рассматривается вопрос долговременного архивного хранения угасающих документов. Проанализированы сложности, возникающие при их микрофильмировании. Предложена методика предварительной компьютерной обработки сканированных изображений таких документов, обеспечивающая повышение качества их визуального восприятия до требований государственного стандарта к микрофильмируемым оригиналам. Обработанные изображения в дальнейшем могут быть выведены на фотоплёнку с использованием COM-систем (Computer Output Microfilm), либо распечатаны на бумажный носитель и микрофильмированы обычным способом. ...
31 08 2020 8:37:18
Статья в формате PDF 268 KB...
30 08 2020 7:10:57
Статья в формате PDF 111 KB...
29 08 2020 22:31:38
Статья в формате PDF 99 KB...
28 08 2020 21:37:55
Статья в формате PDF 115 KB...
27 08 2020 2:27:56
Статья в формате PDF 112 KB...
26 08 2020 21:52:37
Статья в формате PDF 95 KB...
25 08 2020 10:58:45
Статья в формате PDF 127 KB...
24 08 2020 19:11:31
Статья в формате PDF 125 KB...
23 08 2020 10:59:20
Статья в формате PDF 213 KB...
22 08 2020 5:10:49
Статья в формате PDF 113 KB...
21 08 2020 20:28:32
Статья в формате PDF 138 KB...
20 08 2020 13:21:15
Статья в формате PDF 142 KB...
19 08 2020 2:54:31
Статья в формате PDF 129 KB...
18 08 2020 0:30:19
Статья в формате PDF 126 KB...
17 08 2020 0:55:26
Статья в формате PDF 140 KB...
16 08 2020 7:24:11
Статья в формате PDF 120 KB...
15 08 2020 2:48:37
Статья в формате PDF 131 KB...
14 08 2020 3:34:25
Статья в формате PDF 115 KB...
13 08 2020 12:43:10
Статья в формате PDF 99 KB...
12 08 2020 9:22:16
Статья в формате PDF 263 KB...
11 08 2020 1:24:43
Статья в формате PDF 172 KB...
10 08 2020 21:20:47
Статья в формате PDF 101 KB...
09 08 2020 7:18:18
Статья в формате PDF 117 KB...
08 08 2020 16:41:33
Статья в формате PDF 117 KB...
06 08 2020 19:56:30
Статья в формате PDF 119 KB...
05 08 2020 13:40:18
Статья в формате PDF 294 KB...
04 08 2020 0:20:52
Статья в формате PDF 125 KB...
03 08 2020 12:55:26
Статья в формате PDF 251 KB...
02 08 2020 9:54:34
Статья в формате PDF 1235 KB...
01 08 2020 3:52:39
Рассматриваются особенности изменения растительности и почв на протяжении пяти историко-экологических этапов трансформации восточноевропейских степей во второй половине голоцена. Получены оценки поступающей в почву фитомассы, величина изымаемой продукции (в массовом выражении и через энергетические эквиваленты), а также величины энергии, формируемой в процессе гумусообразования. Установлено, что за 5000 лет отношение энергии расхода-прихода растительного вещества изменилось от 1:28 до 1:0,4, а ежегодное поступление гумуса в почвы снизилось с 5,4 до 1,6 М Дж/кв. м. ...
30 07 2020 7:42:50
Статья в формате PDF 114 KB...
28 07 2020 1:12:18
Статья в формате PDF 142 KB...
27 07 2020 9:48:45
Статья в формате PDF 112 KB...
26 07 2020 14:32:20
В статье описана и исследована методами математической статистики хронологическая аномалия космонавтики. Обоснован биномиальный закон распределения числа хронологических совпадений. Показано, что вероятность случайного появления рассматриваемых совпадений весьма мала. Метод исследования, применяемый в работе, преимущественно основан на статистическом анализе хронологии при помощи параметризации дат событий и проверки соответствующего критериального свойства. Используются параметры: условные номера дней с начала летоисчисления N, с начала года n и год Г. Основными информативными параметрами являются интервалы времени между событиями. Обоснован биномиальный закон распределения числа хронологических совпадений. Показано, что вероятность случайного появления рассматриваемых совпадений весьма мала. ...
25 07 2020 18:53:25
Статья в формате PDF 118 KB...
22 07 2020 12:12:15
Статья в формате PDF 121 KB...
21 07 2020 18:29:51
Изучено влияние высококремнистых природных добавок на качество птицеводческой продукции. Установлено, что включение природных добавок в рацион кур-несушек улучшает прочность скорлупы, что непосредственно ведет к снижению процента боя яиц, повышению инкубационных показателей яиц и увеличению процента вывода цыплят. ...
20 07 2020 14:57:18
Статья в формате PDF 104 KB...
19 07 2020 8:39:11
Статья в формате PDF 124 KB...
18 07 2020 18:11:17
Статья в формате PDF 124 KB...
17 07 2020 4:47:41
Статья в формате PDF 126 KB...
15 07 2020 2:54:58
Статья в формате PDF 294 KB...
14 07 2020 2:41:15
Рассматривается проблема организации продуктивной умственной деятельности учащихся общеобразовательных учреждений в системе дидактических принципов современной педагогики. Анализ принципов показывает, что отечественная дидактика в большой мере сохраняет черты традиционной модели обучения и недостаточно учитывает психологическую природу мышления и закономерности продуктивной умственной деятельности при разработке принципов обучения. Выделены основополагающие принципы организации продуктивной умственной деятельности на основе закономерностей развития знания и процесса познания, психологических закономерностей мышления. ...
13 07 2020 12:30:25
Статья в формате PDF 110 KB...
12 07 2020 0:58:44
Статья в формате PDF 104 KB...
11 07 2020 16:25:39
В работе приводится анализ мотивации выбора профессии педагога на основе изучения профессиональной ориентации в группе студентов факультета дополнительных профессий С Г П И. ...
10 07 2020 0:24:18
Статья в формате PDF 125 KB...
09 07 2020 2:32:43
Статья в формате PDF 250 KB...
08 07 2020 22:38:15
Статья в формате PDF 66 KB...
07 07 2020 12:44:34
Статья в формате PDF 249 KB...
06 07 2020 18:48:22
Статья в формате PDF 114 KB...
05 07 2020 14:22:23
Статья в формате PDF 124 KB...
04 07 2020 18:37:27
Статья в формате PDF 131 KB...
03 07 2020 9:24:50
Статья в формате PDF 110 KB...
02 07 2020 7:18:55
Статья в формате PDF 109 KB...
30 06 2020 13:20:19
Статья в формате PDF 276 KB...
29 06 2020 16:27:26
Статья в формате PDF 105 KB...
28 06 2020 3:25:32
Статья в формате PDF 286 KB...
26 06 2020 15:44:22
Статья в формате PDF 319 KB...
25 06 2020 19:49:34
Статья в формате PDF 110 KB...
21 06 2020 21:19:22
Разработан способ производства хлеба из целого зерна. Снижение микробиологической обсеменненности зерна осуществляется с помощью природных консервантов, которые можно вносить на стадии замачивания зерна или приготовления теста. Для повышения качества хлеба, сокращения продолжительности замачивания зерна, повышения степени его дисперсности при получении теста целесообразно использовать цитолитические ферментные препараты. ...
20 06 2020 9:18:59
Статья в формате PDF 117 KB...
19 06 2020 22:31:31
Статья в формате PDF 127 KB...
18 06 2020 0:18:24
Статья в формате PDF 292 KB...
17 06 2020 12:57:13
Статья в формате PDF 299 KB...
16 06 2020 1:55:54
Статья в формате PDF 121 KB...
15 06 2020 4:16:52
Статья в формате PDF 127 KB...
14 06 2020 1:54:23
Статья в формате PDF 119 KB...
13 06 2020 2:37:25
Статья в формате PDF 206 KB...
12 06 2020 6:20:19
Статья в формате PDF 94 KB...
10 06 2020 23:50:23
Статья в формате PDF 142 KB...
08 06 2020 4:19:11
Статья в формате PDF 89 KB...
07 06 2020 18:11:18
Статья в формате PDF 111 KB...
06 06 2020 22:17:59
Статья в формате PDF 146 KB...
05 06 2020 1:31:20
В статье даны практические рекомендации для проектирования вибратора грохота, который по технологическим соображениям был переведён в режим работы с повышенной частотой вращения и уменьшенной амплитудой. Разработана динамическая схема грохота и предложен алгоритм решения дифференциального уравнения. Короб грохота рассматривался как одномассная система с элементами переменной жесткости опор короба, что позволило определить требуемую возмущающую силу вибратора и величину статического момента массы дебалансов при заданных кинематических параметрах. На основе полученных результатов разработана рациональная конструкция дебалансов. ...
04 06 2020 13:16:24
Статья в формате PDF 101 KB...
02 06 2020 9:48:36
Статья в формате PDF 181 KB...
31 05 2020 3:43:50
Статья в формате PDF 111 KB...
30 05 2020 3:23:47
Статья в формате PDF 307 KB...
28 05 2020 1:25:53
Статья в формате PDF 92 KB...
27 05 2020 2:32:30
Статья в формате PDF 287 KB...
26 05 2020 17:57:39
Статья в формате PDF 109 KB...
24 05 2020 8:55:44
Статья в формате PDF 117 KB...
23 05 2020 21:52:10
Статья в формате PDF 306 KB...
22 05 2020 6:42:53
Статья в формате PDF 304 KB...
21 05 2020 2:35:42
Статья в формате PDF 103 KB...
20 05 2020 19:41:17
Статья в формате PDF 293 KB...
19 05 2020 13:32:29
Статья в формате PDF 129 KB...
18 05 2020 1:54:44
Статья в формате PDF 109 KB...
17 05 2020 7:16:23
Статья в формате PDF 111 KB...
16 05 2020 14:36:37
Статья в формате PDF 106 KB...
14 05 2020 7:38:50
Статья в формате PDF 117 KB...
13 05 2020 20:10:53
Статья в формате PDF 127 KB...
12 05 2020 22:32:57
Приведены данные по петрологии и потенциальной рудоносности умеренно-щелочных гранитоидов Нагорного Сангилена, которые по сумме признаков отнесены к анорогенному типу. Показано ведущее значение в генерации этих фельзических интрузивных образований флюидного режима, в котором доминирующую роль играли концентрации плавиковой кислоты. ...
11 05 2020 4:41:37
Статья в формате PDF 103 KB...
10 05 2020 20:58:34
Статья в формате PDF 98 KB...
09 05 2020 22:40:41
Изучен химический состав нетрадиционного инулинсодержащего сырья Scorzonera hispanica L. и Tragopogon porrifolius L. Получены полисахаридные концентраты и установлена их антибактериальная и гипогликемическая активности. Прогнозируется их использование в качестве лечебно-профилактических комплексов. ...
08 05 2020 10:51:31
Статья в формате PDF 119 KB...
07 05 2020 4:28:15
Статья в формате PDF 105 KB...
05 05 2020 13:59:51
Статья в формате PDF 116 KB...
04 05 2020 7:12:16
Статья в формате PDF 390 KB...
03 05 2020 23:29:49
Статья в формате PDF 106 KB...
02 05 2020 16:30:11
Статья в формате PDF 327 KB...
01 05 2020 15:41:14
Статья в формате PDF 123 KB...
30 04 2020 8:48:25
Еще:
Обзоры -1 :: Обзоры -2 :: Обзоры -3 :: Обзоры -4 :: Обзоры -5 :: Обзоры -6 :: Обзоры -7 :: Обзоры -8 :: Обзоры -9 :: Обзоры -10 :: Обзоры -11 ::
Последовательность подготовки научной работы может быть такой: