ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА
Оценка качества формулы приближенного интегрирования при функционально-аналитическом подходе предполагает использование критерия минимальности нормы функционала погрешности в соответствующем пространстве. Нормы функционалов определяются через экстремальные функции, которые являются обобщенными решениями некоторых дифференциальных уравнений в частных производных. Дифференциальный оператор такого уравнения порождается видом нормы функции в основном пространстве. Задачи этого круга восходят своими истоками к работам С.Л.Соболева 60-70 гг., где теория оценивания погрешности приближенного интегрирования была построена для гильбертовых пространств [1], [2]. Дальнейшее обобщение происходило одновременно в направлениях от к ( ) В.И.Половинкиным [3] и от факторизации к Ц.Б.Шойнжуровым [4]. Теория для негильбертова показателя суммируемости разработана Ц.Б.Шойнжуровым [5], и независимо ряд сходных результатов получен М.Д.Рамазановым [6]. При разработке теории в вводились специальные способы нормирования пространства с помощью преобразования Фурье фундаментального решения известного дифференциального оператора. Разработка теории для пространств с естественными нормами, являющимися прямым обобщением норм из начата Ц.Б.Шойнжуровым [7] и продолжена нами [8]. В настоящее время исследования распространяются на функциональные пространства с нормами, осложненными весовыми функциями. Данная работа посвящена нахождению представлений линейных функционалов в весовом пространстве Соболева через суммируемые функции. Наличие представлений функционалов погрешности кубатурных формул в исследуемых пространствах позволяет получать оценки погрешности численного интегрирования для этих классов функций, в некоторых случаях неулучшаемые.
Предварительные сведения.
Пространство определяется как замыкание пространства S Шварца в норме
,(1)
где - весовая функция произвольного знака, такая, что произведения суммируемы в p-й степени. Отметим, что в работах [1], [5] и других применялась весовая функция, неотрицательная на всей области определения.
Оператор , где Δ - оператор Лапласа, порождается нормой [5]
, (2)
Оператор порождается нормой [8]
, (3)
Результаты.
Теорема 1. Фундаментальные решения и операторов и принадлежат пространству , , , .
Доказательство основано на оценках производных , , приведенных в [9], и на свойствах множителя Марцинкевича, каковым является отношение образов Фурье этих операторов . Благодаря последнему факту оценки производных оказываются справедливыми для , что дает для -норм
, .
Принадлежность всех производных фундаментального решения весовому пространству влечет утверждение теоремы.
Отметим, что условие определяет вложение рассматриваемого пространства в пространство непрерывных функций, и что при этом условии существуют интегралы, оценивающие производные фундаментальных решений в окрестности начала координат. Условие непрерывности обязательно в теории кубатурных формул, так как дельта-функции функционала кубатурной суммы действуют на непрерывные функции.
Следствие. Свертка фундаментального решения с функционалом принадлежит пространству . Такая свертка является решением линейного дифференциального уравнения в обобщенных функциях, в частности образованного каким-либо из рассматриваемых операторов, когда правая часть равна функционалу .
Теорема 2. Существует представление линейного функционала в весовом пространстве Соболева через фундаментальное решение
.
Доказательство проводится с применением неравенств Гельдера для сумм и интегралов, что приводит к оценке, основанной на утверждении следствия из теоремы 1
Замечание. В фактор-пространствах , где подобные представления содержат частные производные только высшего порядка, нормы и представления являются однородными, иными словами функционалы в этих пространствах представлены билинейными формами.
Теорема 3. Существует представление линейного функционала в весовом пространстве Соболева через экстремальную функцию
Доказательство основано на приведении вариационной задачи к дифференциальному уравнению в обобщенных функциях, в котором экстремальная функция функционала удовлетворяет условию . Отправным положением является то, что в рефлексивном пространстве, каким является при максимум функционала, равный его норме, достигается на единичной сфере
.
Составленная функция является непрерывной по параметру t. С использованием необходимого условия экстремума и с учетом единичности нормы функции выводится искомое представление. Функции φ0 и ψ0 связаны равенством .
Правомерность дифференцирования под знаком интеграла установлена при помощи оценок, содержащих нормы функций. Единственность решения уравнения установлена при помощи неравенств для весовых пространств Соболева, обобщающих неравенства Кларксона.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. - М.: Наука, 1974.
- Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.
- Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Л., 1979.
- Шойнжуров Ц.Б. Оценка функционалов погрешности кубатурной формулы в пространствах с нормой, зависящей от младших производных: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Новосибирск, 1967.
- Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Улан-Удэ, 1981.
- Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. - Уфа: Башгосуниверситет, 1973.
- Шойнжуров Ц.Б. Решение одного класса квазилинейных уравнений второго порядка эллиптического типа в неограниченной среде // Математический анализ и дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск, 1992. - С. 109-113.
- Корытов И.В. Оценка функционалов погрешности кубатурных формул в функциональных пространствах Соболева: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Красноярск, 1997.
- Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1977 .
Отзывы (через Facebook):
Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:
Статья в формате PDF 107 KB...
26 01 2021 14:29:12
Статья в формате PDF 99 KB...
24 01 2021 6:38:38
Статья в формате PDF 252 KB...
20 01 2021 8:10:27
Статья в формате PDF 170 KB...
19 01 2021 11:28:50
Статья в формате PDF 100 KB...
18 01 2021 22:26:55
Ранее авторами была показана применимость плазмоподобной теории растворов для расчетов эквивалентной электропроводности растворов различных электролитов в воде и этаноле. В данной статье были экспериментально измерены значения электропроводности хлороводорода в четырех н-спиртах (этаноле, пропаноле, бутаноле и пентаноле) при различных температурах (278-328 К), а также получены расчетные значения электропроводности. Сделан вывод о хорошем соответствии расчетных данных экспериментальным. ...
17 01 2021 18:27:49
Статья в формате PDF 123 KB...
16 01 2021 0:24:51
Статья в формате PDF 142 KB...
15 01 2021 0:29:56
Для определения возможности использования кристаллографического метода в оценке нарушений сперматогенеза при действии химических факторов были изучены кристаллограммы лизата сперматозоидов крыс после введения Н Д М Г в дозах 5, 25, 40 и 70 мг/кг. Экспериментальные исследования проводились на белых крысах-самцах. Анализ тезиограмм показал превалирование нарушений с увеличением введенной дозы Н Д М Г, начальные нарушения выявляются на ранних сроках, во всех диапазонах доз Н Д М Г. Максимальные нарушения прослеживаются при острой интоксикации в дозе 70 мг/кг и сроке 24 часа, о чем свидетельствует увеличение центров кристаллизации, формированием грубых монокристаллов и поликристаллов. Изменения кристаллоографической картины в тезиограммах лизата спермы крыс свидетельствуют о метаболических изменениях в сперматозоидах, развивающихся в ответ на действие Н Д М Г, что позволяет рекомендовать кристаллографические методы для оценки действия репродуктивных токсикантов и они могут служить индикаторами функционального состояния организма. ...
14 01 2021 13:43:39
Статья в формате PDF 150 KB...
13 01 2021 7:19:49
Статья в формате PDF 141 KB...
10 01 2021 6:28:22
Статья в формате PDF 264 KB...
09 01 2021 21:44:50
Статья в формате PDF 104 KB...
08 01 2021 11:25:47
Статья в формате PDF 288 KB...
07 01 2021 17:51:14
Статья в формате PDF 129 KB...
06 01 2021 1:10:43
Статья в формате PDF 109 KB...
05 01 2021 21:38:21
Статья в формате PDF 113 KB...
04 01 2021 11:57:43
Статья в формате PDF 305 KB...
03 01 2021 22:11:39
Статья в формате PDF 96 KB...
02 01 2021 17:56:51
Статья в формате PDF 110 KB...
01 01 2021 0:26:22
Статья в формате PDF 155 KB...
31 12 2020 9:59:23
Статья в формате PDF 249 KB...
30 12 2020 15:51:27
Статья в формате PDF 254 KB...
29 12 2020 21:47:47
Статья в формате PDF 95 KB...
28 12 2020 5:21:40
Статья в формате PDF 133 KB...
27 12 2020 2:38:39
Статья в формате PDF 112 KB...
26 12 2020 21:45:21
Статья в формате PDF 130 KB...
25 12 2020 12:40:31
Статья в формате PDF 189 KB...
24 12 2020 21:44:23
Статья в формате PDF 255 KB...
23 12 2020 2:12:40
Статья в формате PDF 119 KB...
22 12 2020 21:27:57
Статья в формате PDF 106 KB...
21 12 2020 7:17:46
Статья в формате PDF 259 KB...
20 12 2020 17:38:56
Статья в формате PDF 143 KB...
19 12 2020 3:53:43
Статья в формате PDF 145 KB...
18 12 2020 22:19:58
Статья в формате PDF 133 KB...
17 12 2020 19:32:21
Статья в формате PDF 117 KB...
16 12 2020 2:52:10
Статья в формате PDF 288 KB...
15 12 2020 6:30:16
Обследовано 19 здоровых людей и 33 пациента с описторхозом и холелитиазом. Проведена сравнительная оценка некоторых показателей холестеринового, пигментного, белкового обмена в пузырной и печеночной порции желчи у обследованных пациентов до и после терапии бильтрицидом и урсосаном. Выявлено, что у пациентов с описторхозом и холелитиазом в эффективные сроки после монотерапии бильтрицидом отмечается значимое превышение концентрации непрямого билирубина, холестерина и белка в пузырной желчи по сравнению со здоровыми людьми, что свидетельствует о сохранении остаточных явлений при значительном улучшении пигментного обмена и снижении литогенных свойств желчи. Включение в схему подготовки и проведения антигельминтной терапии урсосана позволяет достигнуть наибольшего гиполитогенного состояния пузырной порции желчи в эффективные сроки после терапии бильтрицидом. ...
14 12 2020 6:42:42
Статья в формате PDF 111 KB...
12 12 2020 7:45:30
Статья в формате PDF 242 KB...
11 12 2020 5:34:47
Поскольку средняя температура Земли очень медленно уменьшается из-за удаления от Солнца вследствие расширения Вселенной, то достаточно резкие изменения температуры в пределах нескольких градусов могут происходить только в результате пространственных и временных колебаний на самой планете. Такие колебания происходят чередованием ледниковых периодов на северных побережьях Атлантического и Тихого океанов. Анализ длительности ледниковых периодов и межледниковий Атлантического побережья позволяет утверждать, что такие качели действительно существуют, и в настоящее время происходит смена Тихоокеанского оледенения Атлантическим. Данная гипотеза позволит объяснить гибель динозавров, эволюцию лошади, расселение человека и прогнозировать глобальные изменения климата. ...
09 12 2020 18:28:24
Статья в формате PDF 256 KB...
08 12 2020 19:42:30
Статья в формате PDF 147 KB...
06 12 2020 21:20:34
Статья в формате PDF 241 KB...
05 12 2020 9:39:55
Статья в формате PDF 124 KB...
04 12 2020 16:34:23
Статья в формате PDF 276 KB...
03 12 2020 3:18:45
Статья в формате PDF 112 KB...
02 12 2020 4:23:12
Статья в формате PDF 86 KB...
30 11 2020 14:11:43
Статья в формате PDF 110 KB...
29 11 2020 1:44:19
Статья в формате PDF 120 KB...
28 11 2020 23:55:52
Статья в формате PDF 304 KB...
27 11 2020 5:28:32
Все более актуальной в настоящее время становится проблема прогнозирования динамики развития региональных лесных комплексов. В качестве одного из этапов исследований по этой теме автором в содружестве с Гринпис России был выполнен описанный в статье проект. В рамках проекта разработана экономико-математическая модель. Последующая реализация модели на компьютере с использованием реальных данных показала ее эффективность для решения задач прогнозирования лесной отрасли. В качестве региона для апробации модели был выбран Санкт- Петербург и область, где влияние человека на окружающую среду в последнее время существенно возросло. Проведенная на основе статистических тестов верификация модели показала ее соответствие реальности. С целью апробации модели были сформированы два сценария с различными значениями показателей внешнего воздействия на региональную систему лесного комплекса. В результате, после имитации были получены основные параметры регионального лесного комплекса, соответствующие двум сценариям. ...
26 11 2020 10:58:46
Статья в формате PDF 130 KB...
25 11 2020 14:38:50
Статья в формате PDF 101 KB...
24 11 2020 22:30:53
Статья в формате PDF 101 KB...
23 11 2020 3:21:47
Статья в формате PDF 118 KB...
22 11 2020 0:29:52
Статья в формате PDF 117 KB...
20 11 2020 19:53:43
Статья в формате PDF 117 KB...
19 11 2020 15:55:36
Статья в формате PDF 113 KB...
18 11 2020 10:37:27
Статья в формате PDF 110 KB...
17 11 2020 18:55:39
Статья в формате PDF 120 KB...
15 11 2020 9:46:10
Статья в формате PDF 236 KB...
14 11 2020 10:11:23
Статья в формате PDF 266 KB...
13 11 2020 10:31:18
Исследованы изменения физиологических показателей школьников в условиях их работы за компьютером в течение учебного года. Дан сравнительный анализ изменений физиологических показателей школьников, отличающихся эмоциональной устойчивостью. Получены результаты, свидетельствующие о неблагоприятном влиянии условий работы за компьютером на школьников младших классов осенью и весной. ...
12 11 2020 3:36:28
Статья в формате PDF 111 KB...
11 11 2020 0:40:12
Статья в формате PDF 255 KB...
10 11 2020 16:51:40
Статья в формате PDF 162 KB...
08 11 2020 0:28:58
Статья в формате PDF 101 KB...
06 11 2020 4:12:15
Статья в формате PDF 120 KB...
05 11 2020 20:11:13
Статья в формате PDF 263 KB...
04 11 2020 0:59:58
Статья в формате PDF 214 KB...
02 11 2020 9:16:10
Статья в формате PDF 132 KB...
01 11 2020 19:52:25
Статья в формате PDF 98 KB...
31 10 2020 23:20:57
Статья в формате PDF 172 KB...
30 10 2020 3:55:51
Статья в формате PDF 261 KB...
29 10 2020 14:32:57
Статья в формате PDF 420 KB...
28 10 2020 15:17:38
Статья в формате PDF 376 KB...
27 10 2020 14:12:56
Статья в формате PDF 109 KB...
26 10 2020 2:38:51
Статья в формате PDF 120 KB...
25 10 2020 4:40:22
Статья в формате PDF 267 KB...
24 10 2020 19:42:54
Статья в формате PDF 119 KB...
23 10 2020 5:17:38
Статья в формате PDF 293 KB...
22 10 2020 23:38:41
Статья в формате PDF 90 KB...
20 10 2020 19:43:34
Статья в формате PDF 111 KB...
19 10 2020 12:36:20
Статья в формате PDF 107 KB...
18 10 2020 17:47:56
Статья в формате PDF 114 KB...
17 10 2020 11:42:33
Статья в формате PDF 330 KB...
16 10 2020 7:18:19
Статья в формате PDF 329 KB...
15 10 2020 6:21:44
Обсуждаются разбиения 3D пространства на модулярные ячейки с целью последующего конструирования невырожденных модулярных 3D структур кристаллов. ...
14 10 2020 3:31:53
Географическое расположение и климатические условия Нижнего Поволжья, неудовлетворительная экологическая обстановка способствует росту заболеваемости мочеполовой системы у населения, проживающего в регионе. Увеличение частоты заболеваемости уратным нефролитиазом диктует необходимость поиска адекватного объема терапии по улучшению качества консервативного лечения этой патологии. Изучение особенностей симптомокомплекса уратного нефролитиаза в разных возрастных группах (25-30; 40-45; 60-70 лет) позволило научно обосновать и разработать практические рекомендации по рациональному и эффективному лечению данного вида мочекаменной болезни у пациентов с учетом их возраста. ...
13 10 2020 20:18:38
Статья в формате PDF 253 KB...
12 10 2020 17:10:17
Статья в формате PDF 252 KB...
11 10 2020 20:18:24
Статья в формате PDF 98 KB...
10 10 2020 7:18:57
Статья в формате PDF 111 KB...
09 10 2020 4:35:55
Статья в формате PDF 138 KB...
08 10 2020 14:44:38
Статья в формате PDF 251 KB...
07 10 2020 6:43:53
Статья в формате PDF 212 KB...
06 10 2020 14:59:50
Статья в формате PDF 242 KB...
05 10 2020 17:44:23
Статья в формате PDF 187 KB...
04 10 2020 13:45:17
Статья в формате PDF 164 KB...
03 10 2020 20:18:54
Статья в формате PDF 157 KB...
02 10 2020 20:39:18
Статья в формате PDF 266 KB...
01 10 2020 13:31:35
Статья в формате PDF 114 KB...
30 09 2020 22:26:26
Статья в формате PDF 113 KB...
29 09 2020 2:47:37
Статья в формате PDF 121 KB...
28 09 2020 7:20:21
В статье приведены результаты исследований величин защитных пленок смазочно-охлаждающей жидкости ( С О Ж) при обработке деталей уплотненным абразивом. При исследовании толщины адсорбционной пленки адсорбцию выражали через молярно – объемные концентрации поверхностно-активных веществ ( П А В) в растворе абразивной суспензии до и после обработки на экспериментальном стенде камерного типа. Полученные значения величин защитных пленок, необходимы для оценки интенсивности обработки поверхности детали выступами микрорельефа абразивного зерна. ...
27 09 2020 3:25:46
Статья в формате PDF 111 KB...
26 09 2020 10:22:12
Статья в формате PDF 111 KB...
25 09 2020 0:21:42
Статья в формате PDF 166 KB...
24 09 2020 4:22:20
Статья в формате PDF 123 KB...
23 09 2020 8:27:49
В исследовании изучена возможность оптимизации терапии больных урогенитальным хламидиозом, на основе внедрения новой методики цитокининдуцированного определения чувствительности к лекарственным средствам. Под наблюдением находилось 240 больных урогенитальным хламидиозом обоего пола, в возрасте от 18 до 65 лет. В результате применения цитокининдуцированной методики определения чувствительности к лекарственным средствам, удалось значительным образом повысить эффективность терапии больных хламидиозом. ...
22 09 2020 13:38:48
Статья в формате PDF 135 KB...
20 09 2020 3:38:34
В данной статье выделены основные подходы к проблеме человека, сложившиеся в истории казахской традиции и современной казахской философской мысли. По мнению автора, в объяснении феномена человека казахской традицией можно найти ряд толкований, пояснений, отражающих особое внимание к человеку, его духовному миру, самоценности, достоинству, чести. Именно на этой основе казахская национальная традиция получает возможность сосредоточиться на рассмотрении своего видения проблемы отношения человека и мира. ...
19 09 2020 0:19:13
Статья в формате PDF 251 KB...
18 09 2020 11:15:27
Статья в формате PDF 115 KB...
16 09 2020 11:16:46
Статья в формате PDF 296 KB...
15 09 2020 10:35:26
Статья в формате PDF 108 KB...
14 09 2020 1:58:25
Статья в формате PDF 285 KB...
13 09 2020 18:47:21
Статья в формате PDF 110 KB...
12 09 2020 22:20:27
Статья в формате PDF 114 KB...
11 09 2020 13:36:29
Статья в формате PDF 251 KB...
10 09 2020 21:20:16
Статья в формате PDF 115 KB...
09 09 2020 17:56:33
Статья в формате PDF 128 KB...
08 09 2020 4:41:58
Статья в формате PDF 269 KB...
07 09 2020 11:49:56
Статья в формате PDF 141 KB...
06 09 2020 12:40:54
Статья в формате PDF 82 KB...
05 09 2020 13:28:45
Статья в формате PDF 102 KB...
04 09 2020 4:39:36
Статья в формате PDF 263 KB...
03 09 2020 6:55:53
Статья в формате PDF 251 KB...
02 09 2020 23:28:21
Статья в формате PDF 130 KB...
01 09 2020 22:27:23
Статья в формате PDF 174 KB...
31 08 2020 20:40:38
Еще:
Обзоры -1 :: Обзоры -2 :: Обзоры -3 :: Обзоры -4 :: Обзоры -5 :: Обзоры -6 :: Обзоры -7 :: Обзоры -8 :: Обзоры -9 :: Обзоры -10 :: Обзоры -11 ::