ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА
Оценка качества формулы приближенного интегрирования при функционально-аналитическом подходе предполагает использование критерия минимальности нормы функционала погрешности в соответствующем пространстве. Нормы функционалов определяются через экстремальные функции, которые являются обобщенными решениями некоторых дифференциальных уравнений в частных производных. Дифференциальный оператор такого уравнения порождается видом нормы функции в основном пространстве. Задачи этого круга восходят своими истоками к работам С.Л.Соболева 60-70 гг., где теория оценивания погрешности приближенного интегрирования была построена для гильбертовых пространств [1], [2]. Дальнейшее обобщение происходило одновременно в направлениях от к ( ) В.И.Половинкиным [3] и от факторизации к Ц.Б.Шойнжуровым [4]. Теория для негильбертова показателя суммируемости разработана Ц.Б.Шойнжуровым [5], и независимо ряд сходных результатов получен М.Д.Рамазановым [6]. При разработке теории в вводились специальные способы нормирования пространства с помощью преобразования Фурье фундаментального решения известного дифференциального оператора. Разработка теории для пространств с естественными нормами, являющимися прямым обобщением норм из начата Ц.Б.Шойнжуровым [7] и продолжена нами [8]. В настоящее время исследования распространяются на функциональные пространства с нормами, осложненными весовыми функциями. Данная работа посвящена нахождению представлений линейных функционалов в весовом пространстве Соболева через суммируемые функции. Наличие представлений функционалов погрешности кубатурных формул в исследуемых пространствах позволяет получать оценки погрешности численного интегрирования для этих классов функций, в некоторых случаях неулучшаемые.
Предварительные сведения.
Пространство определяется как замыкание пространства S Шварца в норме
,(1)
где - весовая функция произвольного знака, такая, что произведения суммируемы в p-й степени. Отметим, что в работах [1], [5] и других применялась весовая функция, неотрицательная на всей области определения.
Оператор , где Δ - оператор Лапласа, порождается нормой [5]
, (2)
Оператор порождается нормой [8]
, (3)
Результаты.
Теорема 1. Фундаментальные решения и операторов и принадлежат пространству , , , .
Доказательство основано на оценках производных , , приведенных в [9], и на свойствах множителя Марцинкевича, каковым является отношение образов Фурье этих операторов . Благодаря последнему факту оценки производных оказываются справедливыми для , что дает для -норм
, .
Принадлежность всех производных фундаментального решения весовому пространству влечет утверждение теоремы.
Отметим, что условие определяет вложение рассматриваемого пространства в пространство непрерывных функций, и что при этом условии существуют интегралы, оценивающие производные фундаментальных решений в окрестности начала координат. Условие непрерывности обязательно в теории кубатурных формул, так как дельта-функции функционала кубатурной суммы действуют на непрерывные функции.
Следствие. Свертка фундаментального решения с функционалом принадлежит пространству . Такая свертка является решением линейного дифференциального уравнения в обобщенных функциях, в частности образованного каким-либо из рассматриваемых операторов, когда правая часть равна функционалу .
Теорема 2. Существует представление линейного функционала в весовом пространстве Соболева через фундаментальное решение
.
Доказательство проводится с применением неравенств Гельдера для сумм и интегралов, что приводит к оценке, основанной на утверждении следствия из теоремы 1
Замечание. В фактор-пространствах , где подобные представления содержат частные производные только высшего порядка, нормы и представления являются однородными, иными словами функционалы в этих пространствах представлены билинейными формами.
Теорема 3. Существует представление линейного функционала в весовом пространстве Соболева через экстремальную функцию
Доказательство основано на приведении вариационной задачи к дифференциальному уравнению в обобщенных функциях, в котором экстремальная функция функционала удовлетворяет условию . Отправным положением является то, что в рефлексивном пространстве, каким является при максимум функционала, равный его норме, достигается на единичной сфере
.
Составленная функция является непрерывной по параметру t. С использованием необходимого условия экстремума и с учетом единичности нормы функции выводится искомое представление. Функции φ0 и ψ0 связаны равенством .
Правомерность дифференцирования под знаком интеграла установлена при помощи оценок, содержащих нормы функций. Единственность решения уравнения установлена при помощи неравенств для весовых пространств Соболева, обобщающих неравенства Кларксона.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. - М.: Наука, 1974.
- Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.
- Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Л., 1979.
- Шойнжуров Ц.Б. Оценка функционалов погрешности кубатурной формулы в пространствах с нормой, зависящей от младших производных: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Новосибирск, 1967.
- Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Улан-Удэ, 1981.
- Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. - Уфа: Башгосуниверситет, 1973.
- Шойнжуров Ц.Б. Решение одного класса квазилинейных уравнений второго порядка эллиптического типа в неограниченной среде // Математический анализ и дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск, 1992. - С. 109-113.
- Корытов И.В. Оценка функционалов погрешности кубатурных формул в функциональных пространствах Соболева: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Красноярск, 1997.
- Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1977 .
Отзывы (через Facebook):
Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:
Статья в формате PDF 227 KB...
04 07 2020 14:34:43
Статья в формате PDF 128 KB...
03 07 2020 4:26:38
Статья в формате PDF 239 KB...
02 07 2020 10:38:52
Статья в формате PDF 132 KB...
01 07 2020 15:50:13
Статья в формате PDF 102 KB...
30 06 2020 8:54:40
Статья в формате PDF 138 KB...
29 06 2020 18:16:56
Статья в формате PDF 260 KB...
28 06 2020 3:35:51
Статья в формате PDF 116 KB...
27 06 2020 20:45:59
Статья в формате PDF 101 KB...
25 06 2020 0:44:26
Статья в формате PDF 1797 KB...
24 06 2020 18:19:56
Статья в формате PDF 104 KB...
23 06 2020 6:42:34
Статья в формате PDF 196 KB...
20 06 2020 4:27:45
Статья в формате PDF 323 KB...
19 06 2020 7:49:25
Статья в формате PDF 103 KB...
18 06 2020 16:30:13
В статье на основании анализа серий срезов зародышей человека изучены особенности формирования артериального русла отделов головного мозга, определены возрастные критерии появления закладок как отделов головного мозга, так и основных сосудов и их ветвей в плане обоснования возможных вариантов строения артериальной сети головного мозга в онтогенезе. ...
17 06 2020 20:54:55
Статья в формате PDF 316 KB...
16 06 2020 16:53:28
Статья в формате PDF 120 KB...
15 06 2020 9:32:25
Статья в формате PDF 242 KB...
14 06 2020 19:51:13
Статья в формате PDF 364 KB...
13 06 2020 13:46:46
Статья в формате PDF 261 KB...
12 06 2020 22:25:52
Статья в формате PDF 113 KB...
11 06 2020 16:16:23
Статья в формате PDF 187 KB...
10 06 2020 9:12:41
Статья в формате PDF 120 KB...
09 06 2020 0:38:14
Статья в формате PDF 113 KB...
08 06 2020 7:58:36
Статья в формате PDF 119 KB...
07 06 2020 17:29:44
Статья в формате PDF 255 KB...
06 06 2020 8:12:27
Статья в формате PDF 255 KB...
05 06 2020 0:40:30
Статья в формате PDF 241 KB...
04 06 2020 20:53:48
Статья в формате PDF 127 KB...
03 06 2020 7:23:15
Установлены специфические особенности микробного населения почв мерзлотных горно-таежных техногенных ландшафтов Эльконского ураново-рудного района на территории Южной Якутии. Такие как высокая численность эколого-трофических групп микроорганизмов (2,0·103–7,6·107 кл/г), сопоставимая с плотностью микробов в лугово-степных почвах Центральной Якутии и особый характер распределения их по профилю почв в зависимости от содержания в них урана. В почве радиоактивно-загрязненного разреза с уменьшением содержания урана до 161 мг/кг наблюдается увеличение численности всех исследованных групп микроорганизмов. В остальных образцах данного разреза с увеличением содержания урана в почве наблюдается исчезновение или спад численности микроорганизмов на 1–2 порядка. В отличие от загрязненного разреза в почве нативного ландшафта численность микроорганизмов остается достаточно высокой по всему почвенному профилю. ...
02 06 2020 18:58:26
Статья в формате PDF 286 KB...
01 06 2020 16:18:46
Статья в формате PDF 1235 KB...
31 05 2020 19:39:29
Статья в формате PDF 164 KB...
30 05 2020 8:13:21
Статья в формате PDF 129 KB...
27 05 2020 2:49:55
Статья в формате PDF 111 KB...
26 05 2020 8:10:11
В статье отражены результаты комплексного исследования подготовленности спортсменок, специализирующихся в беге на 300-400 м с барьерами. Дан анализ статистически достоверных различий по педагогическим, физиологическим и биометрическим показателям в ответственейший момент спортивной карьеры - момент перехода с «детской» дистанции (бега на 300 м с барьерами) на олимпийскую дисциплину (400 м с барьерами). Выявлены взаимосвязи между различными сторонами подготовленности: физической, функциональной и технической. Представленный материал можно использовать в виде модельных характеристик для девушек в возрасте 15-16 лет и закономерностей становления спортивного мастерства при уточнении Учебной программы для детско-юношеских спортивных школ, специализированных детско-юношеских школ олимпийского резерва и школ высшего спортивного мастерства по разделу « Барьерный бег». ...
25 05 2020 16:18:40
Статья в формате PDF 134 KB...
22 05 2020 0:20:12
Статья в формате PDF 84 KB...
21 05 2020 20:47:58
Статья в формате PDF 104 KB...
20 05 2020 7:41:36
Статья в формате PDF 112 KB...
18 05 2020 6:56:53
Статья в формате PDF 269 KB...
16 05 2020 11:26:20
Статья в формате PDF 115 KB...
15 05 2020 23:55:55
Статья в формате PDF 118 KB...
14 05 2020 3:11:18
Статья в формате PDF 255 KB...
13 05 2020 10:27:39
Статья в формате PDF 119 KB...
11 05 2020 0:19:28
Статья в формате PDF 495 KB...
10 05 2020 3:28:23
Статья в формате PDF 122 KB...
07 05 2020 7:35:12
Предложен метод межреберного внутримышечного введения препаратов с непосредственным ультразвуковым «метод глубокого фонофореза», или лазерным воздействием «метод глубокого фотофореза» на место инъекции по рентгенологической проекции воспалительной зоны, и изучены механизмы их лечебного действия у больных деструктивным туберкулезом легких с выраженным пневмофиброзом и патологией органов пищеварения. Создание в очаге туберкулезного поражения повышенной концентрации изониазида повышает эффективность химиотерапии туберкулеза легких в условиях выраженного пневмофиброза изученными методами на 18%. ...
06 05 2020 8:30:23
Статья в формате PDF 177 KB...
05 05 2020 12:51:55
По результатам измерений ширины годичных слоев на рабочей части керна и определения радиального роста дерева, и последующей идентификации по ним статистической закономерности, выполняют прогнозирование на ретроспективу на число лет с начала рабочей зоны керна до момента начала жизни измеряемого учетного дерева. ...
03 05 2020 5:59:48
Статья в формате PDF 104 KB...
02 05 2020 15:24:58
Статья в формате PDF 99 KB...
01 05 2020 20:14:18
Статья в формате PDF 346 KB...
29 04 2020 13:37:27
Статья в формате PDF 122 KB...
28 04 2020 5:14:39
Статья в формате PDF 167 KB...
27 04 2020 9:49:16
Статья в формате PDF 97 KB...
26 04 2020 7:57:54
Статья в формате PDF 135 KB...
25 04 2020 3:25:32
Статья в формате PDF 112 KB...
24 04 2020 10:21:40
Статья в формате PDF 111 KB...
23 04 2020 10:38:37
В опытах на беспородных белых крысах с экспериментальной ишемией миокарда в динамике наблюдений отмечено снижение уровня А Т Ф и креатинфосфата в гомогенатах миокарда на фоне подавления активности сукцинатдегидрогеназы, лактатдегидрогеназы, аспартатаминотрансферазы. Достигнуты положительные метаболические эффекты при введении ишемизированным животным неотона – донатора макроэргических связей и оказывающего активирующий эффект на ферменты гликолиза и цикла трикарбоновых кислот в динамике патологии. ...
22 04 2020 0:38:37
Статья в формате PDF 114 KB...
21 04 2020 10:38:34
Статья в формате PDF 212 KB...
20 04 2020 4:12:18
Статья в формате PDF 90 KB...
18 04 2020 10:23:10
Статья в формате PDF 146 KB...
17 04 2020 18:45:48
Статья в формате PDF 121 KB...
16 04 2020 1:24:46
Реформы в образовании ума человека происходят всегда до новых циклов экономического возрождения из кризисов. Это запаздывание весьма большое у России. В развитых странах цикл реформ в образовании начинается за 3–5 лет до начала экономических реформ. Но в России долго запрягают, а потом несутся напролом, на авось. Поэтому колебательное возмущение мнений экспертов превалирует над постоянством, – менталитет очень неровный. Предлагается принципиально новая методика, основанная на анализе устойчивых закономерностей с волновыми составляющими и полученная по конкретным экспертным оценкам. Цель статьи – кратко показать возможности методологии идентификации свойств поведения у групп экспертов, как неких условных популяций много знающих и оценивающих людей, а также привести критерии поведенческой динамики по тем или иным экспертным оценкам об интернационализации российского образования. ...
15 04 2020 23:16:31
Статья в формате PDF 119 KB...
14 04 2020 14:19:26
Статья в формате PDF 101 KB...
13 04 2020 4:45:46
Статья в формате PDF 109 KB...
12 04 2020 19:34:27
Исследованы изменения физиологических показателей школьников в условиях их работы за компьютером в течение учебного года. Дан сравнительный анализ изменений физиологических показателей школьников, отличающихся эмоциональной устойчивостью. Получены результаты, свидетельствующие о неблагоприятном влиянии условий работы за компьютером на школьников младших классов осенью и весной. ...
11 04 2020 19:21:52
Статья в формате PDF 84 KB...
10 04 2020 13:15:27
Статья в формате PDF 283 KB...
09 04 2020 6:14:33
Статья в формате PDF 141 KB...
07 04 2020 0:33:13
Статья в формате PDF 138 KB...
06 04 2020 14:12:42
Статья в формате PDF 241 KB...
05 04 2020 0:32:52
Статья в формате PDF 115 KB...
04 04 2020 21:14:16
Статья в формате PDF 119 KB...
02 04 2020 9:12:14
Статья в формате PDF 112 KB...
01 04 2020 1:37:22
Проведено комплексное психо-соматическое обследование 3280 женщин репродуктивного возраста с мастопатией. Сделан вывод о необходимости организации специализированных маммологических кабинетов для квалифицированной диагностики, лечения и психологической коррекции пациенток с заболеваниями молочных желез. ...
31 03 2020 4:14:13
В сообщении представлены сведения о трансформации населения охотничье-промысловых млекопитающих при освоении Чаяндинского лицензионного участка ( Западная Якутия). Материалы собраны в 2009–2011 гг. В результате проведенных учетных работ и опросных сведений на территории лицензионного участка выявлено обитание 10 видов охотничье-промысловых млекопитающих из 20 видов, обитающих на территории Западной Якутии. На настоящий момент существенных изменений численности охотничье-промысловых животных на лицензионном участке не происходит. В целом воздействие геологоразведочных работ на нефть и газ носят локальный характер. ...
29 03 2020 6:43:20
Статья в формате PDF 288 KB...
28 03 2020 8:31:28
Статья в формате PDF 103 KB...
27 03 2020 9:51:30
Статья в формате PDF 120 KB...
26 03 2020 21:10:22
В настоящей статье представлена многокритериальная математическая модель организации личностно-ориентированного обучения учащихся. Построена экстремальная модель на языке теории гиперграфов. ...
24 03 2020 8:24:46
Эффективность фотопреобразования света в электрический ток ограничено рекомбинационными, тепловыми и другими потерями энергии в структурах солнечных элементов ( С Э). Уравнения, описывающие потери, уточнены с учетом рассредоточения омических потерь в лицевом слое ( Л С). Впервые проведена оценка тепловых потерь, обусловленных эффектом Пельтье, в контактах электрической цепи С Э. ...
23 03 2020 8:14:13
С целью изучения экологических и этнических особенностей адаптационно-компенсаторных механизмов у детей различных популяционных групп были обследованы 208 школьников 7-15 лет, проживающие в г. Красноярске и в Эвенкии. Проведена комплексная клинико-инструментальная оценка вегетативного статуса по показателям кардиоинтервалографии с клиноортостатической пробой. Показано, что в популяции жителей Эвенкии этническая принадлежность (дети эвенков) является одним из факторов, формирующих вегетативный гомеостаз. Они отличаются от детей пришлого населения Эвенкии по напряжению вегетативных механизмов регуляции. Полученные результаты необходимы для разработки региональных критериев здоровья, проведения коррекционных и профилактических мероприятий на донозологическом этапе. ...
22 03 2020 9:28:10
Статья в формате PDF 320 KB...
21 03 2020 19:48:34
Статья в формате PDF 104 KB...
19 03 2020 4:19:43
Статья в формате PDF 134 KB...
18 03 2020 3:15:49
Статья в формате PDF 146 KB...
17 03 2020 5:12:37
Статья в формате PDF 102 KB...
16 03 2020 7:52:37
Статья в формате PDF 120 KB...
15 03 2020 7:45:11
Статья в формате PDF 323 KB...
14 03 2020 23:47:36
Статья в формате PDF 236 KB...
13 03 2020 11:36:27
Статья в формате PDF 135 KB...
12 03 2020 8:33:49
Статья в формате PDF 90 KB...
11 03 2020 11:47:37
Статья в формате PDF 110 KB...
10 03 2020 2:33:22
Статья в формате PDF 120 KB...
09 03 2020 13:46:24
Статья в формате PDF 124 KB...
08 03 2020 10:36:41
Статья в формате PDF 119 KB...
07 03 2020 21:26:26
Статья в формате PDF 148 KB...
06 03 2020 17:32:54
Статья в формате PDF 155 KB...
05 03 2020 0:59:54
Статья в формате PDF 241 KB...
04 03 2020 2:44:54
Статья в формате PDF 117 KB...
02 03 2020 9:43:57
Статья в формате PDF 119 KB...
29 02 2020 7:31:41
Статья в формате PDF 275 KB...
28 02 2020 15:12:17
Статья в формате PDF 110 KB...
27 02 2020 20:12:40
Статья в формате PDF 115 KB...
26 02 2020 15:31:32
Статья в формате PDF 117 KB...
24 02 2020 8:42:25
Статья в формате PDF 313 KB...
23 02 2020 13:55:26
Статья в формате PDF 133 KB...
22 02 2020 7:23:16
Статья в формате PDF 101 KB...
21 02 2020 22:33:36
Статья в формате PDF 97 KB...
20 02 2020 19:40:38
Статья в формате PDF 258 KB...
16 02 2020 8:32:10
Статья в формате PDF 121 KB...
15 02 2020 15:17:22
При управлении автоматическими космическими аппаратами ( К А) важной проблемой является обеспечение надежного и оперативного анализа и диагностирования работоспособности бортовых систем. Это позволит своевременно выявить негативные тенденции в работе бортовой аппаратуры и предотвратить их развитие. Наибольшую актуальность проблема приобретает при управлении К А со сложными бортовыми системами, характеризующимися большим объемом телеметрических параметров, а так же при необходимости выдачи командных воздействий непосредственно в сеансах связи. Существующий опыт управления К А показывает, что в ряде случаев только своевременная выдача команд немедленного исполнения позволила обеспечить выполнение программы полета К А [1]. В настоящей работе предлагается общий подход к решению указанной проблемы, основанный на создании адекватных моделей анализа и диагностики функционирования бортовых систем и алгоритмов автоматизированной выработки рекомендаций по воздействию на К А. Ожидается, что использование в практике управления таких моделей и алгоритмов даст возможность существенно повысить эффективность работы аппаратуры, в том числе за счет оперативного устранения возникающих на борту нештатных ситуаций. ...
13 02 2020 16:47:42
Статья в формате PDF 269 KB...
12 02 2020 11:14:43
Статья в формате PDF 117 KB...
11 02 2020 6:10:34
Статья в формате PDF 261 KB...
10 02 2020 17:30:20
Статья в формате PDF 255 KB...
08 02 2020 14:44:46
Статья в формате PDF 132 KB...
07 02 2020 19:10:32
Статья в формате PDF 112 KB...
06 02 2020 8:37:32
Еще:
Обзоры -1 :: Обзоры -2 :: Обзоры -3 :: Обзоры -4 :: Обзоры -5 :: Обзоры -6 :: Обзоры -7 :: Обзоры -8 :: Обзоры -9 :: Обзоры -10 :: Обзоры -11 ::
Последовательность подготовки научной работы может быть такой: