ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА
Источник:
Оценка качества формулы приближенного интегрирования при функционально-аналитическом подходе предполагает использование критерия минимальности нормы функционала погрешности в соответствующем пространстве. Нормы функционалов определяются через экстремальные функции, которые являются обобщенными решениями некоторых дифференциальных уравнений в частных производных. Дифференциальный оператор такого уравнения порождается видом нормы функции в основном пространстве. Задачи этого круга восходят своими истоками к работам С.Л.Соболева 60-70 гг., где теория оценивания погрешности приближенного интегрирования была построена для гильбертовых пространств [1], [2]. Дальнейшее обобщение происходило одновременно в направлениях от к ( ) В.И.Половинкиным [3] и от факторизации к Ц.Б.Шойнжуровым [4]. Теория для негильбертова показателя суммируемости разработана Ц.Б.Шойнжуровым [5], и независимо ряд сходных результатов получен М.Д.Рамазановым [6]. При разработке теории в вводились специальные способы нормирования пространства с помощью преобразования Фурье фундаментального решения известного дифференциального оператора. Разработка теории для пространств с естественными нормами, являющимися прямым обобщением норм из начата Ц.Б.Шойнжуровым [7] и продолжена нами [8]. В настоящее время исследования распространяются на функциональные пространства с нормами, осложненными весовыми функциями. Данная работа посвящена нахождению представлений линейных функционалов в весовом пространстве Соболева через суммируемые функции. Наличие представлений функционалов погрешности кубатурных формул в исследуемых пространствах позволяет получать оценки погрешности численного интегрирования для этих классов функций, в некоторых случаях неулучшаемые.
Предварительные сведения.
Пространство определяется как замыкание пространства S Шварца в норме
,(1)
где - весовая функция произвольного знака, такая, что произведения суммируемы в p-й степени. Отметим, что в работах [1], [5] и других применялась весовая функция, неотрицательная на всей области определения.
Оператор , где Δ - оператор Лапласа, порождается нормой [5]
, (2)
Оператор порождается нормой [8]
, (3)
Результаты.
Теорема 1. Фундаментальные решения и операторов и принадлежат пространству , , , .
Доказательство основано на оценках производных , , приведенных в [9], и на свойствах множителя Марцинкевича, каковым является отношение образов Фурье этих операторов . Благодаря последнему факту оценки производных оказываются справедливыми для , что дает для -норм
, .
Принадлежность всех производных фундаментального решения весовому пространству влечет утверждение теоремы.
Отметим, что условие определяет вложение рассматриваемого пространства в пространство непрерывных функций, и что при этом условии существуют интегралы, оценивающие производные фундаментальных решений в окрестности начала координат. Условие непрерывности обязательно в теории кубатурных формул, так как дельта-функции функционала кубатурной суммы действуют на непрерывные функции.
Следствие. Свертка фундаментального решения с функционалом принадлежит пространству . Такая свертка является решением линейного дифференциального уравнения в обобщенных функциях, в частности образованного каким-либо из рассматриваемых операторов, когда правая часть равна функционалу .
Теорема 2. Существует представление линейного функционала в весовом пространстве Соболева через фундаментальное решение
.
Доказательство проводится с применением неравенств Гельдера для сумм и интегралов, что приводит к оценке, основанной на утверждении следствия из теоремы 1
Замечание. В фактор-пространствах , где подобные представления содержат частные производные только высшего порядка, нормы и представления являются однородными, иными словами функционалы в этих пространствах представлены билинейными формами.
Теорема 3. Существует представление линейного функционала в весовом пространстве Соболева через экстремальную функцию
Доказательство основано на приведении вариационной задачи к дифференциальному уравнению в обобщенных функциях, в котором экстремальная функция функционала удовлетворяет условию . Отправным положением является то, что в рефлексивном пространстве, каким является при максимум функционала, равный его норме, достигается на единичной сфере
.
Составленная функция является непрерывной по параметру t. С использованием необходимого условия экстремума и с учетом единичности нормы функции выводится искомое представление. Функции φ0 и ψ0 связаны равенством .
Правомерность дифференцирования под знаком интеграла установлена при помощи оценок, содержащих нормы функций. Единственность решения уравнения установлена при помощи неравенств для весовых пространств Соболева, обобщающих неравенства Кларксона.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. - М.: Наука, 1974.
- Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.
- Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Л., 1979.
- Шойнжуров Ц.Б. Оценка функционалов погрешности кубатурной формулы в пространствах с нормой, зависящей от младших производных: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Новосибирск, 1967.
- Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Улан-Удэ, 1981.
- Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. - Уфа: Башгосуниверситет, 1973.
- Шойнжуров Ц.Б. Решение одного класса квазилинейных уравнений второго порядка эллиптического типа в неограниченной среде // Математический анализ и дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск, 1992. - С. 109-113.
- Корытов И.В. Оценка функционалов погрешности кубатурных формул в функциональных пространствах Соболева: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Красноярск, 1997.
- Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1977 .
Отзывы (через Facebook):
Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:
Статья в формате PDF 98 KB...
13 04 2021 21:28:56
Измерена подъемная сила, создаваемая скошенным экранированным кольцевым крылом. Показано, что экспериментальные результаты удовлетворяют свойству автомодельности. ...
12 04 2021 19:27:21
Статья в формате PDF 252 KB...
11 04 2021 12:18:37
Статья в формате PDF 132 KB...
10 04 2021 13:56:50
Статья в формате PDF 122 KB...
08 04 2021 16:52:51
Статья в формате PDF 160 KB...
07 04 2021 5:11:54
Статья в формате PDF 196 KB...
05 04 2021 5:42:57
Статья в формате PDF 110 KB...
04 04 2021 9:11:50
Статья в формате PDF 108 KB...
03 04 2021 19:16:51
Статья в формате PDF 96 KB...
02 04 2021 21:42:49
Статья в формате PDF 131 KB...
31 03 2021 20:55:39
Статья в формате PDF 147 KB...
30 03 2021 15:37:49
Установлены специфические особенности микробного населения почв мерзлотных горно-таежных техногенных ландшафтов Эльконского ураново-рудного района на территории Южной Якутии. Такие как высокая численность эколого-трофических групп микроорганизмов (2,0·103–7,6·107 кл/г), сопоставимая с плотностью микробов в лугово-степных почвах Центральной Якутии и особый характер распределения их по профилю почв в зависимости от содержания в них урана. В почве радиоактивно-загрязненного разреза с уменьшением содержания урана до 161 мг/кг наблюдается увеличение численности всех исследованных групп микроорганизмов. В остальных образцах данного разреза с увеличением содержания урана в почве наблюдается исчезновение или спад численности микроорганизмов на 1–2 порядка. В отличие от загрязненного разреза в почве нативного ландшафта численность микроорганизмов остается достаточно высокой по всему почвенному профилю. ...
29 03 2021 7:15:27
Статья в формате PDF 131 KB...
28 03 2021 21:32:47
Статья в формате PDF 133 KB...
27 03 2021 11:37:18
Статья в формате PDF 303 KB...
26 03 2021 6:48:25
Статья в формате PDF 214 KB...
25 03 2021 16:50:40
Статья в формате PDF 239 KB...
24 03 2021 9:21:51
Статья в формате PDF 113 KB...
23 03 2021 14:10:16
Статья в формате PDF 319 KB...
21 03 2021 16:18:47
Статья в формате PDF 130 KB...
20 03 2021 17:38:16
Статья в формате PDF 122 KB...
18 03 2021 12:58:53
Статья в формате PDF 115 KB...
17 03 2021 2:20:25
Статья в формате PDF 278 KB...
16 03 2021 8:45:26
Получены сведения о начальных стадиях развития. Согласно профильно-генетической классификации почв техногенных ландшафтов [5] морфологически выделены элювиоземы инициальные, эмбриоземы инициальные и органо-аккумулятивные. Экспериментально показано, что выделение этих типов почв вследствие низкой скорости почвообразования пока возможно только по почвенно-биологическими показателями. Установлено, что микробное сообщество молодых почв на отвалах Мирнинского Г О К имеет характерные черты для начальной стадии почвообразования: более высокую в сравнение зональной почвой численность; низкую активность утилизации целлюлозы; низкую инвентарную. Последнее свидетельствует о низкой скорости формирования органо-минерального комплекса почвы. Выявлено, возможности дифференциации типов молодых техногенных ландшафтов по способу субстратов поддерживать начальный рост тест растений. ...
15 03 2021 9:47:43
Статья в формате PDF 581 KB...
14 03 2021 2:22:34
Статья в формате PDF 376 KB...
13 03 2021 1:10:34
В статье доктора искусствоведения профессора Саратовской консерватории, члена-корреспондента Российской академии естествознания даётся обоснование нового научного направления – универсального искусствознания, целью которого является комплексное исследование художественного процесса с вовлечением всех видов искусства в их глобальном охвате, а также построение художественной картины мира как особого рода исторической памяти. ...
12 03 2021 18:37:35
Статья в формате PDF 115 KB...
11 03 2021 3:43:31
Статья в формате PDF 232 KB...
10 03 2021 1:31:40
Научно-технический прогресс приносит новый блага цивилизации и ставит новые проблемы перед ней. Автомобильный транспорт дал людям высокую степень мобильности и комфорта, за которые, однако, приходится расплачиваться ухудшением экологии. В статье изучена динамика роста численности автомобильного и грузового транспорта в городе Сочи и тот ущерб, который транспорт наносит экологии сочинского региона. ...
09 03 2021 10:10:18
Статья в формате PDF 110 KB...
08 03 2021 13:22:43
Статья в формате PDF 125 KB...
07 03 2021 10:57:56
Статья в формате PDF 172 KB...
06 03 2021 0:55:14
В статье изложены результаты исследования содержания таких биоэнергетически активных компонентов-углеводов и липидов в организме Trichocephalus trichiurus,Tr.muris в норме и после применения принятых терапевтических дозах Вермокса, Медамина и Дифезила. ...
05 03 2021 8:47:59
Статья в формате PDF 113 KB...
03 03 2021 17:55:11
Статья в формате PDF 192 KB...
02 03 2021 14:27:11
Статья в формате PDF 133 KB...
01 03 2021 9:50:17
Статья в формате PDF 122 KB...
28 02 2021 22:13:22
Статья в формате PDF 722 KB...
27 02 2021 0:25:39
Статья в формате PDF 112 KB...
26 02 2021 5:36:31
Статья в формате PDF 141 KB...
25 02 2021 22:55:51
Статья в формате PDF 109 KB...
24 02 2021 20:14:57
Статья в формате PDF 111 KB...
22 02 2021 5:46:41
Статья в формате PDF 118 KB...
21 02 2021 3:12:21
Статья в формате PDF 120 KB...
19 02 2021 23:23:23
На основе анализа s-d обменного взаимодействия в структурах типа NiAs с частично вакантными катионными позициями, моделировались различного рода зависимости результирующей намагниченности от температуры нестехиометрических ферримагнетиков. На основе исследований пирротина методами Я Г Р и Р Ф А доказано, что двухподрешеточный ферримагнетик, содержащий в структуре катионные вакансии, должен рассматриваться, при определенном типе распределения вакансий, как ферримагнетик с четырьмя магнитными подрешетками. В данном случае, дополнительные магнитные подрешетки можно рассматривать как подрешетки, индуцированные характером распределения катионных вакансий в структуре. Квантово-механические расчеты в рамках модели молекулярного поля температурных изменений намагниченности отдельно для каждой из подрешеток, а также анализ результирующей термокривой намагниченности, объясняют ряд экспериментально полученных кривых зависимости намагниченности от температуры нестехиометрического пирротина с различной плотностью вакансий в структуре. ...
18 02 2021 17:25:42
Статья в формате PDF 101 KB...
16 02 2021 20:29:18
Статья в формате PDF 152 KB...
15 02 2021 8:17:33
Статья в формате PDF 99 KB...
14 02 2021 6:32:12
Статья в формате PDF 107 KB...
13 02 2021 3:21:40
Статья в формате PDF 116 KB...
11 02 2021 6:46:14
Статья в формате PDF 116 KB...
10 02 2021 2:36:51
Статья в формате PDF 256 KB...
09 02 2021 15:19:38
Статья в формате PDF 100 KB...
08 02 2021 14:16:59
Статья в формате PDF 120 KB...
07 02 2021 0:38:55
Статья в формате PDF 125 KB...
06 02 2021 6:32:14
Статья в формате PDF 127 KB...
05 02 2021 1:11:43
Статья в формате PDF 119 KB...
04 02 2021 17:15:44
Статья в формате PDF 115 KB...
03 02 2021 5:53:50
Статья в формате PDF 324 KB...
02 02 2021 1:17:11
Статья в формате PDF 113 KB...
01 02 2021 15:53:58
Статья в формате PDF 136 KB...
31 01 2021 23:56:20
Статья в формате PDF 121 KB...
29 01 2021 6:36:26
Статья в формате PDF 262 KB...
28 01 2021 20:28:32
Статья в формате PDF 120 KB...
25 01 2021 11:10:42
Статья в формате PDF 112 KB...
23 01 2021 19:34:16
Проведен анализ эффективности различных типов фитнес-программ в коррекции избыточной массы тела женщин юношеского и зрелого возраста. Применяемые физические нагрузки отличались характером нагрузки и наличию/отсутствию компонента коррекции питания. Исследовали антропометрические показатели, И М Т, определяли содержание жировой массы в организме методом калипометрии в динамике 6-месячного тренировочного цикла. Проводили промежуточные исследования: в середине, через 3 месяца от начала тренировочного цикла. В исследовании приняли участие 93 практически здоровые женщины с избыточной массой тела, не имеющие эндокринных заболеваний и противопоказаний к занятиям физической культурой. Выделены группы в зависимости от типа программы (I, II), а также подгруппы (Ia, IIa) в зависимости от возраста: 18–21 год (I и II, n = 17 и n = 17, соответственно) и 36–45 лет (Ia, IIa, n = 30 и n = 29, соответственно). Показана динамика и статистическая значимость различий в группах, проведен сравнительный анализ между группами. Выявлена более высокая физиологическая эффективность программы I, базирующейся на смешанном характере тренировки, многовариантной схеме упражнений с мониторированием и коррекцией характера питания. ...
22 01 2021 15:21:33
Исторический аспект развития студенческого самоуправления в дореволюционный, советский и переходный периоды России показали, что будущее страны на современном этапе определяется тем, каким образом будут осуществлены воспитание и подготовка квалифицированной рабочей силы, готовой к постоянному профессиональному росту, социальной и профессиональной мобильности. Одним из важных стимулов повышения гражданской, патриотической и социальной активности будущих специалистов являются восстановление, наличие и дальнейшее развитие и совершенствование таких демократических институтов в студенческой среде как соуправление и самоуправление. ...
21 01 2021 18:35:23
Статья в формате PDF 119 KB...
20 01 2021 7:31:28
Статья в формате PDF 113 KB...
19 01 2021 0:43:30
Статья в формате PDF 106 KB...
18 01 2021 11:11:20
Статья в формате PDF 131 KB...
16 01 2021 14:33:20
Статья в формате PDF 95 KB...
15 01 2021 4:17:58
Статья в формате PDF 495 KB...
14 01 2021 19:27:47
Статья в формате PDF 125 KB...
13 01 2021 22:32:42
Статья в формате PDF 112 KB...
12 01 2021 2:25:59
Статья в формате PDF 102 KB...
11 01 2021 4:47:17
Статья в формате PDF 185 KB...
10 01 2021 9:36:45
Статья в формате PDF 120 KB...
09 01 2021 21:33:48
Статья в формате PDF 117 KB...
08 01 2021 19:23:33
Статья в формате PDF 118 KB...
07 01 2021 15:31:45
Статья в формате PDF 116 KB...
06 01 2021 7:44:17
В работе приводится анализ мотивации выбора профессии педагога на основе изучения профессиональной ориентации в группе студентов факультета дополнительных профессий С Г П И. ...
05 01 2021 7:29:44
Статья в формате PDF 245 KB...
04 01 2021 23:18:55
Разработан новый морфометрический показатель площади контакта эпителия и стромы. Показатель использовался автором при многолетних исследованиях морфофункционального состояния щитовидной железы у женщин и в эксперименте. ...
03 01 2021 17:44:22
Получены уравнения конвекции и конвективной диффузии двухкомпонентных смесей в магнитном поле. Исследованы различные частные случаи. Решена задача о конвективном движении смеси вблизи вертикальной пластины, на поверхности которой происходит гетерогенная химическая реакция. Библиогр. 4 назв. ...
01 01 2021 9:19:39
Статья в формате PDF 212 KB...
31 12 2020 3:42:49
Статья в формате PDF 104 KB...
30 12 2020 18:28:48
Статья в формате PDF 321 KB...
29 12 2020 23:46:47
Статья в формате PDF 135 KB...
28 12 2020 11:41:23
Статья в формате PDF 103 KB...
25 12 2020 6:34:45
Статья в формате PDF 418 KB...
24 12 2020 19:55:44
Статья в формате PDF 110 KB...
23 12 2020 17:26:24
Статья в формате PDF 117 KB...
22 12 2020 11:11:59
Статья в формате PDF 150 KB...
21 12 2020 4:44:55
Статья в формате PDF 172 KB...
19 12 2020 22:34:17
Статья в формате PDF 113 KB...
18 12 2020 20:52:56
Статья в формате PDF 85 KB...
17 12 2020 18:34:34
Статья в формате PDF 113 KB...
16 12 2020 14:39:20
Обобщаются понятия «компетентность». Формулируются компетентности, необходимые для решения проблем безопасности жизнедеятельности в практической работе инженера. Предлагается направление целевого развития компетентностей выпускника технического вуза в процессе его обучения. ...
14 12 2020 15:34:13
Статья в формате PDF 277 KB...
13 12 2020 12:20:35
Статья в формате PDF 113 KB...
12 12 2020 9:37:45
Статья в формате PDF 113 KB...
11 12 2020 8:57:22
Статья в формате PDF 102 KB...
10 12 2020 18:28:56
Статья в формате PDF 104 KB...
09 12 2020 19:42:31
Статья в формате PDF 98 KB...
08 12 2020 9:49:55
Статья в формате PDF 98 KB...
07 12 2020 14:34:21
Статья в формате PDF 121 KB...
05 12 2020 18:33:34
В статье приведены спорные данные предшественников по составу и особенностям становления гранитоидов Абайского массива среднего девона. Новые данные, полученные авторами по петрологии и геохимии, позволяют отнести гранитоиды массива к анорогенному типу ( А-тип) с щелочными минералами (рибекитом, астрофиллитом). Формирование массива протекало в три фазы: 1 – гранодиориты; 2 – граниты, умеренно-щелочные рибекитовые граниты; 3 – лейкограниты и лейкогранит-порфиры. Генерация их происходила в постколлизионной обстановке, инициированной плюмтектоникой. В северо-западной части массива в районе пологого погружения кровли, осложнённой куполовидным поднятием, зафиксировано аномальное обогащение флюидной магматогенной фазы летучими компонентами, и особенно фтором, что указывает на возможность обнаружения здесь редкометалльно-редкоземельного оруденения. ...
04 12 2020 7:38:21
Статья в формате PDF 109 KB...
03 12 2020 23:34:51
Статья в формате PDF 244 KB...
30 11 2020 6:57:55
Методом Н+ Я М Р-релаксации изучены межмолекулярные взаимодействия в гелях крахмала в молочной среде. Установлены зависимости скоростей поперечной и продольной релаксаций протонов от концентрации крахмала для водных и молочных систем. Казеин синергетически влияет на гелеобразующую способность крахмала, который иммобилизует воду в молочной среде более активно, чем в водной. На основании исследований температурной зависимости поперечной релаксации доказано образование комплексного геля, представляющего собой сетку из спиральных молекул крахмала, в ячейки которой включены мицеллы и субмицеллы казеина. ...
29 11 2020 3:27:54
Статья в формате PDF 204 KB...
28 11 2020 23:30:20
Статья в формате PDF 112 KB...
27 11 2020 22:59:29
Статья в формате PDF 114 KB...
26 11 2020 12:36:59
Статья в формате PDF 505 KB...
25 11 2020 18:47:34
Статья в формате PDF 330 KB...
24 11 2020 4:10:27
Статья в формате PDF 90 KB...
23 11 2020 17:58:59
Статья в формате PDF 101 KB...
21 11 2020 18:34:55
В статье описаны способы гравитационного извлечения мелкого золота из золотосодержащего минерального сырья в аппаратах лоткового типа, показан механизм движения и распределения частичек относительно их удельного веса в потоках перерабатываемой пульпы. Даны предпосылки для создания необходимых устройств с целью осуществления описанных способов. ...
20 11 2020 0:58:35
Статья в формате PDF 256 KB...
19 11 2020 3:51:38
Статья в формате PDF 133 KB...
18 11 2020 6:42:29
Статья в формате PDF 131 KB...
17 11 2020 22:23:57
В работе представлены результаты исследования влияния высокоинтенсивных физических факторов электрического поля коронного разряда ( Э П К Р), создаваемого установкой « Экран», и некогерентных световых импульсов ( Н С И), создаваемых установкой « Стимул» [1, 2], на семена овощных культур, с целью повышения урожайности. По результатам исследования выявлено, что все использованные в эксперименте режимы высокоинтенсивного физического воздействия на семена овощных культур оказывают стимулирующий биологический эффект при оценке урожайности. Определено, что наиболее эффективными режимами Э П К Р для повышения урожайности овощных культур являются режимы с напряженностью электрического поля 3,5 к В/см и 5 к В/см. Выявлено, что наиболее эффективными режимами Н С И для повышения урожайности овощных культур является режим с запасенной суммарной электрической энергией импульсного источника энерго-питания 80 к Дж. Показано, что при воздействии на посадочный материал картофеля Н С И с запасенной суммарной электрической энергией 40 к Дж наблюдается стимулирование роста, развития, повышение всхожести и сокращение вегетационного периода картофеля. Кроме того, данное физическое воздействие вызывает повышение качества урожая картофеля, т.к. вес и количество крупных и средних клубней в опытной группе значительно больше, чем в контрольной. ...
16 11 2020 19:37:41
Статья в формате PDF 255 KB...
15 11 2020 11:56:54
Еще:
Обзоры -1 :: Обзоры -2 :: Обзоры -3 :: Обзоры -4 :: Обзоры -5 :: Обзоры -6 :: Обзоры -7 :: Обзоры -8 :: Обзоры -9 :: Обзоры -10 :: Обзоры -11 ::
Последовательность подготовки научной работы может быть такой: