IT-Reviews    

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ФИРМ НА ОДНОРОДНОМ РЫНКЕ

Рекомендуем: Типы датчиков износа тормозных колодок и принцип их работы
Источник:
Копылов А.В. Просвиров А.Э. Рассмотрена экономико-математическая модель конкуренции двух фирм на однородном рынке сбыта. Приводится формулировка соответствующей задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающей динамику развития системы, которая может быть легко обобщена на случай произвольного количества конкурирующих предприятий. Дана экономическая интерпретация полученных результатов. Статья в формате PDF 154 KB Математическому моделированию процессов конкуренции и сотрудничества двух фирм на различных рынках посвящено довольно много научных работ, в основном использующих аппарат теории игр и статистических решений. В качестве примера можно привести работы таких исследователей, как Курно, Стакельберг, Бертран, Нэш, Парето, основные результаты которых приведены в [4].

В данной работе авторы предприняли взглянуть на эту задачу с точки зрения экономической динамики.

Следует отметить, что динамические дифференциальные модели уже давно и успешно используются для математического моделирования самых разнообразных по своей природе процессов. Достаточно упомянуть широко использующуюся в экологии модель «хищник-жертва» Вольтера [2], математическую теорию развития эпидемий, модели боевых действий.В качестве классических примеров дифференциальных моделей экономической динамики отметим модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара, односекторную модель экономического роста Солоу [4], однопродуктовые динамические макроэкономические модели Леонтьева [3].

Задача решалась в следующей постановке.

На рынке однородного товара присутствуют две основные фирмы, разделяющие его между собой, т.е. имеет место классическая дуополия.

Безусловно, это является весьма сильным предположением, однако оно вполне оправдано в тех случаях, когда доля продаж остальных конкурентов на рассматриваемом сегменте рынке пренебрежимо мала. Хорошим примером может служить отечественный рынок микропроцессоров, который по существу разделили между собой две фирмы: Intel и AMD. 

Изменение объемов продаж конкурирующих фирм с течением времени описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

с начальными условиями

q1(0)=q01, q2(0)=q02                               (2)

Здесь и далее использованы следующие обозначения:

q1(t) - объем продаж фирмы I;

q2(t)-объем продаж фирмы II 

N - объем рассматриваемого сегмента рынка сбыта;

a1 , b1 , a2 , b2 -положительные коэффициенты, характеризующие степень влияния различных факторов на изменения объема продаж первой и второй фирмы соответственно.

Уравнения (1) получены из следующих самых общих соображений.

С достаточным основанием можно утверждать, что скорость изменения объемов продаж фирм со временем задается формулами:

 

где A и Bij являются в общем случае функциями qi.

Задача теперь состоит в определении вида  зависимостей Ai=Ai (q) и Bij =Bij (q).  

Функция Ai (q) описывает влияние внутренней среды предприятия на рост объема продаж и может быть с учетом логистической поправки записана в виде [2]:

Заметим, что здесь учтен тот факт, что суммарный объем продаж двух фирм qi+qне может превышать N

Слагаемое Bij  (q) выражает влияние внешней среды предприятия на рост объема продаж и учитывает уменьшение объема продаж i-ой фирмы за счет роста продаж j-ой: bqq j .

В результате подобных рассуждений удается  построить систему дифференциальных уравнений (1)-(2), которая тривиально обобщается на случай произвольного количества конкурирующих предприятий.

Для удобства дальнейшего исследования введем в рассмотрение безразмерные переменные:

τ= a1(Nt) - безразмерное время,                   (5) 

yi =qi /N  - безразмерный объем продаж i-ой фирмы (i=1,2).

После этого модель задачи приобретает вид

Начальные условия  приобретают вид:y1(0)=y01, y2(0)=y02

Таким образом, мы приходим к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6)-(7), представляющей собой основу для математического моделирования рассматриваемого процесса.

Система (6)-(7) интегрировалась ПЭВМ для широкого диапазона параметров и начальных условий с использованием стандартного алгоритма Рунге-Кутта четвертого порядка [5], реализованного в среде разработки VBA для пакета MS Office 2002 XP.

Некоторые полученные результаты приведены ниже в виде графиков зависимости безразмерных объемов продаж фирм y1 и y2 от безразмерного времени τ на рис. 1-3. На всех графиках по горизонтальной оси отложена величина τ, а по вертикальной оси- y1 и y2.

Рис.1. соответствует ситуации, когда на рынке присутствует только фирма I, т.е. имеет место классическая монополия. Система (1) в этом случае вырождается в задачу Коши для одного уравнения

или в безразмерном виде

Задача (9) допускает аналитическое решение в виде

причем  что полностью согласуется с тем очевидным фактом, что рано или поздно фирма-монополист будет целиком контролировать рассматриваемый сегмент рынка сбыта.

Выражение (10) представляет собой уравнение хорошо известной логистической кривой [3], которая и представлена на рис. 1.

Рис. 2. иллюстрирует динамику процесса раздела рынка между двумя фирмами в том случае, когда их взаимным противодействием, учитываемым посредством коэффициентов b1 , b2 , можно пренебречь. Это соответствует ситуации, когда влиянием внешней среды предприятий на рост объемов продаж можно пренебречь по сравнению с влиянием внутренней среды. В этом случае единственным внешним фактором, ограничивающим увеличение объемов продаж, является изначальная ограниченность рынка сбыта.

Рис 3. соответствует наиболее общему случаю, когда в полной мере учитываются как внутренние, так и внешние факторы, определяющие развитие обоих предприятий.

Обращает на себя внимание тот факт, что при прочих равных условиях в конечном итоге в выигрыше оказывается фирма с бо´льшим значением коэффициента a и с ме´ньшим значением коэффициента bi .

Рис. 1. Динамика изменения объемов продаж при a1=0,5; a2=b1=b2=0; ,y1(0) =0,01,y2(0)= 0,00.

 

Рис. 2. Динамика изменения объемов продаж при a2/a1= 0,5; b1/a1=0,0; b2/a1=0,0 ,y1(0)= 0,01, y2(0)= 0,01 .

Следует также отметить, что зависимости отражает основные закономерности развития y1(τ) и y2(τ) имеют принципиально нелинейный характер, переживая «взлеты» и «падения», о чем особенно наглядно свидетельствует рис. 3.рассматриваемой ситуации, и использованные Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том, что, несмотря на некоторую абстрактность, данная модель в целом адекватно для ее построения принципы могут быть с успехом применены для математического описания динамики развития различных экономических систем.

Рис. 3. Динамика изменения объемов продаж при a2/a1= 1,000; b1/a1=0,984; b2/a1=1,000 ,y1(0)= 0,01, y2(0)= 0,01 .

Литература

  1. Coleman C.S. Combat models // Differential equation models.-New York e.a., 1983.-P. 109131.
  2. Murray J. D. Some simple mathematical models  in  ecology//  Math. Spectrum.-19831984.-V. 16, №2.-P. 48.-54.
  3. Бережной  Л.И.. Теория оптимального управления экономическими системами: Учебное пособие.СПб.:ИВЭСЭП, Знание, 2002.-64 с.
  4. Малыхин В.И.. Математическое моделирование экономики. М., УРАО, 1998.-160 с.
  5. Мудров  А.Е.  Численные  методы  для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль.- Томск: МП «Раско», 1991.-272 с,: ил.



Отзывы (через Facebook):

Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:


Бозаджиев Владимир Лукьянович

Статья в формате PDF 144 KB...

12 06 2021 6:40:34

ПОНЯТИЕ И ПРОБЛЕМЫ ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ КИБЕРТЕРРОРИЗМУ

Статья в формате PDF 262 KB...

10 06 2021 22:59:59

ШАТОВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСЕЕВИЧ

Статья в формате PDF 224 KB...

09 06 2021 6:53:34

О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ

В статье рассматривается взаимодействие тел при различных скоростях и делается вывод о несправедливости постулата о постоянстве скорости света относительно любой системы отсчета. Дается также понятное с точки зрения классической механики объяснение зависимости длины и времени от скорости. ...

07 06 2021 13:34:29

НЕЙРОГЕННЫЕ МЕХАНИЗМЫ РЕГУЛЯЦИИ МЫШЕЧНОГО ТОНУСА

Статья в формате PDF 300 KB...

04 06 2021 17:22:57

АКТУАЛЬНОСТЬ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Статья в формате PDF 129 KB...

03 06 2021 16:14:36

НАСУЩИЕ ПРОБЛЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ

Статья в формате PDF 127 KB...

17 05 2021 15:55:26

Краснощекова Галина Алексеевна

Статья в формате PDF 177 KB...

08 05 2021 9:33:59

МЕТОД КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА СРЕДЫ ОБИТАНИЯ В МЕГАПОЛИСЕ

Статья в формате PDF 218 KB...

04 05 2021 15:19:41

Еще:
Обзоры -1 :: Обзоры -2 :: Обзоры -3 :: Обзоры -4 :: Обзоры -5 :: Обзоры -6 :: Обзоры -7 :: Обзоры -8 :: Обзоры -9 :: Обзоры -10 :: Обзоры -11 ::

Последовательность подготовки научной работы может быть такой:

Выбор темы. Это важный этап. Во-первых, тема должна быть интересна не только вам, но и большинству слушателей, которым вы будете её докладывать, чтобы вы видели заинтересованность в их глазах, а не откровенную скуку.

Выбор целей и задач своей научной работы. То есть, нужно сузить тему. Например, тема: «Грудное вскармливание», сужение темы: «Грудное вскармливание среди студенток нашего ВУЗа». И если общая тема мало кому интересна, то суженная до рамок собственного института или университета, она становится интересной практически для всех слушателей. Целью может стать: «Содействие оптимальным условиям вскармливания грудью детей студентов нашего ВУЗа», а задачей — доказать, что специальные условия, созданные для кормящих студенток, не помешают их успеваемости, но уменьшат количество пропусков, академических отпусков и способствуют выращиванию здоровых детей — нашего будущего. Понятно, что эта тема подходит для студентов медицинских и педагогических ВУЗов, но и в других учебных учреждениях можно найти темы, интересные всем.

Разработать методы исследования и сбора информации. В случае с естественным вскармливанием, скорее всего, это будет анкетирование студенток, имеющих детей.

Систематизировать материал и подготовить презентацию.

Подготовиться к выступлению.

Выступить и получить: награду, удовольствие и опыт, чтобы в следующем году выступить ещё лучше и сорвать шквал аплодисментов, стать узнаваемым, а значит — более конкурентоспособным!