О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ С ГЛАДКОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ
Рассмотрим следующую краевую задачу:
(1)
с граничными условиями
(2)
где потенциал q(x) - суммируемая функция, удовлетворяющая условию
(3)
В уравнении (1) число λ - спектральный параметр, функция ρ(x) называется весовой функцией, функция q(x) называется потенциалом, число n - порядок дифференциального оператора (1)-(2), n = 2, 3, 4, ...
Мы будем предполагать, что весовая функция ρ(x) является достаточно гладкой: .
Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n = 2, ρ(x) = 1 другой метод был продемонстрирован в фундаментальной работе [1].
Кроме дифференциального уравнения (1), рассмотрим также вспомогательное дифференциальное уравнение
(4)
Для изучения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач, связанных с дифференциальным уравнением (1), необходимо знать асимптотику решений дифференциальных уравнений (1) и (4).
Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием .
Пусть ωk - корни n-й степени из единицы, то есть n = 2, 3, 4, ...; k = 1, 2, ..., n - 1, n. Эти числа удовлетворяют следующим свойствам: m = 1, 2, 3, ..., n - 1.
Теорема 1. Решение дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:
(5)
где yk(x, s) (k = 1, 2, ..., n) - фундаментальная система решений вспомогательного дифференциального уравнения (4), Δ0(s) - определитель Вронского этих решений:
при этом несложно доказать, что Δ0(s) не зависит от x, Ck(k = 1,2,...,n) - произвольные постоянные.
Из формулы (5) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). Для дифференциального оператора второго порядка это было сделано автором в работе [2].
При этом из теоремы 1 видно, что для нахождения асимптотики решений дифференциального уравнения (1) необходимо знать асимптотику решений { yk (x,s) , k = 1,2,..,n } вспомогательного дифференциального уравнения (4) при больших значениях спектрального параметра λ (то есть асимптотику при |s| → + ∞ ).
Теорема 2. Общее решение вспомогательного дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид:
(6)
где Ck (k = 1,2,..,n) - произвольные постоянные, yk(x, s) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (4), причём при |s| → + ∞ ). справедливы следующие асимптотические разложения:
k = 1,2, .., n (7)
Идею разложения вида (7) мы нашли в монографии М.В. Федорюка [3].
Введём следующие обозначения:
(8)
Через «+...» в формулах (7) и (8) обозначены следующие выражения:
Условие позволяет асимптотические разложения вида (7) дифференцировать почленно n раз (n = 2, 3, ...). При этом мы получим:
(9)
При этом в формуле (10) Ψm-8 (x) - некоторая функция, причём если у сомножителя (aωks)m-p (p = 1, 2, 3, ...) степень m - p становится меньше нуля, то это слагаемое обнуляется.
Приведём ещё пару формул для Фpn (x,s) в равенстве (9):
При этом на коэффициенты Bpn,m, Dpn,m, E pn,m, (p = 1, 2, 3, ...) из формул (10)-(12) нами впервые получены реккурентные соотношения, из которых методом математической индукции можно вывести формулы для этих коэффициентов в явном виде и тем самым получить асимптотические формулы для решений вспомогательного дифференциального уравнения (4) (и дифференциального уравнения (1) тоже), а также асимптотические формулы для собственных значений краевой задачи (1)-(2).
Например:
Если мы подставим формулы (9)-(13) при n = 2 (или при n = 3) в дифференциальное уравнение (1) (при n = 2, или при n = 3), приведём подобные слагаемые и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях s (этот метод называется методом последовательных приближений Хорна), то найдём в явном виде коэффициенты A1k2 (x), A2k2 (x), .. (или A1k3 (x), A2k3 (x),.. ). Это не было сделано ни в монографии [3], ни в других работах.
Впервые это было сделано автором в §3 главы 5 монографии [4].
Приведём явные формулы, полученные нами.
Введём необходимые нам обозначения:
Из формул (9)-(13) получаем:
(15)
(17)
Список литературы
- Винокуров В.А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
- Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией. - Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2008. - №8/1(67). - С. 172-187.
- Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983. - 352 с.
- Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. - М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.
Отзывы (через Facebook):
Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:
Статья в формате PDF 717 KB...
13 12 2019 0:22:40
Выбрать оптимальный метод введения больных в период реабилитации после черепно-мозговой травмы. Материалы и методы: За 2011 год в Новокуйбышевской центральной городской больницы пролечено 960 пострадавших с черепно-мозговой травмой, из них 780 пострадавших с сотрясением головного мозга. Все пациенты с сотрясением головного мозга, первых семь дней находились на стационарном лечении в условиях травматологического отделения. Под наблюдением врачей нейрохирурга, травматолога, невролога и окулиста, проводилась дегидратационная и симптоматическая терапия. После первой недели стационарного лечения данных пациентов разделили на три равных группы по 260 человек и в дальнейшем их вели по- разному. Результаты: Удовлетворительные результаты лечения получены в первой группе у 252 пациентов (97%), у второй группы 243 пациентов(93%), а в третьей 156 пациентов (60%). Один день дневного стационара в травматологическом отделение в Новокуйбышевской центральной городской больницы Н Ц Г Б стоит 360 рублей, а один день дневного стационара, стоит 190 рублей. Таким образом стоимость лечения пациентов первой группы = (7 + 7)·360 = 5040 рублей, стоимость лечения пациентов второй группы = 7·360 + 7·190 = 2520 + 1330 = 3850 рублей, стоимость лечения пациентов третьей группы = 7·360 = 2520 рублей. Из данных расчетов видно, что пациенты третьей группы, требует меньше расходов, но к сожалению, у них намного хуже результаты лечения. Результаты лечения пациентов первой и второй группы практически одинаковы, а стоимость пациентов второй группы намного меньше. ...
12 12 2019 16:54:23
Ранее авторами была показана применимость плазмоподобной теории растворов для расчетов эквивалентной электропроводности растворов различных электролитов в воде и этаноле. В данной статье были экспериментально измерены значения электропроводности хлороводорода в четырех н-спиртах (этаноле, пропаноле, бутаноле и пентаноле) при различных температурах (278-328 К), а также получены расчетные значения электропроводности. Сделан вывод о хорошем соответствии расчетных данных экспериментальным. ...
11 12 2019 21:24:35
Статья в формате PDF 101 KB...
10 12 2019 10:55:31
Статья в формате PDF 135 KB...
09 12 2019 14:23:54
Статья в формате PDF 97 KB...
08 12 2019 5:33:40
Статья в формате PDF 133 KB...
07 12 2019 9:53:35
Статья в формате PDF 263 KB...
06 12 2019 9:37:29
Статья в формате PDF 128 KB...
03 12 2019 10:41:21
Статья в формате PDF 106 KB...
02 12 2019 10:58:43
Статья в формате PDF 118 KB...
01 12 2019 8:31:58
Статья в формате PDF 396 KB...
30 11 2019 9:43:48
По мере прогрессирования В И Ч-инфекции наблюдается дисбаланс в выработке цитокинов, характеризующийся переключением Тh-1 ответа на Тh-2. Это, в свою очередь, приводит к прогрессированию иммуносупрессии и развитию оппортунистических инфекций. Определено, что IFN-γ, IL-2, IL-4, IL-10 и TGFβ могут обладать разнонаправленным действием в зависимости от локальных условий. Оценка иммунологических параметров может определять прогноз развития заболевания и коpрегировать интенсивность противовирусной терапии. ...
29 11 2019 11:54:18
Статья в формате PDF 127 KB...
27 11 2019 10:13:28
Статья в формате PDF 103 KB...
26 11 2019 14:23:44
Статья в формате PDF 139 KB...
25 11 2019 12:43:49
Статья в формате PDF 199 KB...
24 11 2019 7:38:55
Статья в формате PDF 137 KB...
22 11 2019 6:23:46
Статья в формате PDF 337 KB...
21 11 2019 1:48:10
Статья в формате PDF 118 KB...
20 11 2019 16:21:59
Статья в формате PDF 104 KB...
19 11 2019 6:54:54
Статья в формате PDF 103 KB...
17 11 2019 21:33:27
Статья в формате PDF 127 KB...
16 11 2019 2:12:49
Статья в формате PDF 323 KB...
14 11 2019 20:36:36
Статья в формате PDF 284 KB...
13 11 2019 22:44:18
Статья в формате PDF 319 KB...
11 11 2019 2:44:14
Статья в формате PDF 121 KB...
10 11 2019 13:59:45
Статья в формате PDF 111 KB...
09 11 2019 1:28:59
Статья в формате PDF 113 KB...
08 11 2019 17:33:43
Разработан новый морфометрический показатель площади контакта эпителия и стромы. Показатель использовался автором при многолетних исследованиях морфофункционального состояния щитовидной железы у женщин и в эксперименте. ...
07 11 2019 16:19:27
Разработана математическая модель прогнозирования инфекционной заболеваемости на модели природно-очаговой инфекции, возбудителем которой является вирус клещевого энцефалита. Математическая модель представлена в виде аддитивного временного ряда, включающая тренд, случайные компоненты и сезонные составляющие, имеющие разную периодичность: менее года, 3 года и многолетнюю. ...
06 11 2019 19:35:35
Статья в формате PDF 92 KB...
05 11 2019 5:29:11
В статье освещаются морфофункциональные особенности структуры стенки тонкой кишки в зависимости от характера вскармливания в экспериментальных условиях. Представлены собственные результаты исследования по вопросу о электронно-микроскопическом строении слоев стенки тонкой кишки при смешанном и искусственном вскармливании в эксперименте. ...
04 11 2019 22:59:38
Статья в формате PDF 358 KB...
02 11 2019 18:11:24
Статья в формате PDF 106 KB...
01 11 2019 3:29:30
Статья в формате PDF 124 KB...
31 10 2019 4:10:52
Статья в формате PDF 123 KB...
30 10 2019 9:55:49
Статья в формате PDF 242 KB...
29 10 2019 23:48:53
Статья в формате PDF 285 KB...
28 10 2019 2:23:28
Статья в формате PDF 119 KB...
27 10 2019 9:18:25
Статья в формате PDF 111 KB...
26 10 2019 8:15:43
Статья в формате PDF 132 KB...
25 10 2019 21:33:14
Статья в формате PDF 103 KB...
24 10 2019 13:18:51
Статья в формате PDF 96 KB...
22 10 2019 10:45:17
Статья в формате PDF 124 KB...
21 10 2019 5:25:22
Статья в формате PDF 87 KB...
20 10 2019 2:45:19
Получены сведения о начальных стадиях развития. Согласно профильно-генетической классификации почв техногенных ландшафтов [5] морфологически выделены элювиоземы инициальные, эмбриоземы инициальные и органо-аккумулятивные. Экспериментально показано, что выделение этих типов почв вследствие низкой скорости почвообразования пока возможно только по почвенно-биологическими показателями. Установлено, что микробное сообщество молодых почв на отвалах Мирнинского Г О К имеет характерные черты для начальной стадии почвообразования: более высокую в сравнение зональной почвой численность; низкую активность утилизации целлюлозы; низкую инвентарную. Последнее свидетельствует о низкой скорости формирования органо-минерального комплекса почвы. Выявлено, возможности дифференциации типов молодых техногенных ландшафтов по способу субстратов поддерживать начальный рост тест растений. ...
19 10 2019 2:44:41
Статья в формате PDF 117 KB...
18 10 2019 1:47:25
Статья в формате PDF 123 KB...
17 10 2019 11:10:57
Статья в формате PDF 112 KB...
16 10 2019 12:18:35
Статья в формате PDF 97 KB...
15 10 2019 23:30:25
Статья в формате PDF 248 KB...
14 10 2019 22:17:48
Статья в формате PDF 120 KB...
13 10 2019 4:34:46
Статья в формате PDF 112 KB...
12 10 2019 2:19:42
Статья в формате PDF 134 KB...
10 10 2019 18:13:21
Статья в формате PDF 100 KB...
09 10 2019 5:42:53
Статья в формате PDF 168 KB...
08 10 2019 14:22:18
Статья в формате PDF 139 KB...
05 10 2019 13:29:41
Статья в формате PDF 120 KB...
03 10 2019 9:10:37
Статья в формате PDF 128 KB...
02 10 2019 19:20:27
Статья в формате PDF 115 KB...
01 10 2019 15:40:48
Статья в формате PDF 210 KB...
30 09 2019 11:15:43
Статья в формате PDF 108 KB...
29 09 2019 22:22:24
Статья в формате PDF 376 KB...
28 09 2019 12:23:21
Статья в формате PDF 286 KB...
27 09 2019 8:27:27
Статья в формате PDF 116 KB...
26 09 2019 9:32:24
Статья в формате PDF 286 KB...
24 09 2019 1:37:24
Статья в формате PDF 114 KB...
23 09 2019 15:22:24
Статья в формате PDF 111 KB...
22 09 2019 6:20:14
Статья в формате PDF 285 KB...
21 09 2019 13:32:33
Обсуждается проблемы разбиения и структурирования пространства, формирования структурных модулей, которые предназначены для конструирования модульных 3D структур кристаллов. ...
20 09 2019 6:38:30
Статья в формате PDF 119 KB...
19 09 2019 20:15:17
Статья в формате PDF 327 KB...
18 09 2019 13:43:52
Статья в формате PDF 300 KB...
17 09 2019 15:37:18
Статья в формате PDF 122 KB...
15 09 2019 1:46:29
Статья в формате PDF 196 KB...
14 09 2019 23:24:45
Статья в формате PDF 210 KB...
13 09 2019 13:59:26
Статья в формате PDF 114 KB...
11 09 2019 7:13:34
Статья в формате PDF 124 KB...
10 09 2019 15:40:35
Статья в формате PDF 98 KB...
09 09 2019 13:11:31
Статья в формате PDF 109 KB...
08 09 2019 0:50:23
Статья в формате PDF 106 KB...
06 09 2019 22:27:42
Статья в формате PDF 119 KB...
05 09 2019 23:24:15
Статья в формате PDF 113 KB...
04 09 2019 16:11:29
Статья в формате PDF 117 KB...
02 09 2019 17:51:22
Статья в формате PDF 100 KB...
01 09 2019 12:42:57
Статья в формате PDF 120 KB...
31 08 2019 4:53:23
Статья в формате PDF 114 KB...
30 08 2019 0:10:36
Статья в формате PDF 129 KB...
29 08 2019 4:38:28
В костном мозге больных гематологическими заболеваниями выявлено значительное количество эритроклазических кластеров, характеризующихся экзоцитарным лизисом входящих в них эритроцитов кластерообразующими миелокариоцитами разных видов, включая эритрокариоциты. Содержание эритроклазических кластеров с происходящим в них экзоцитарным лизисом эритроцитов варьировало от 21% от всех эритроклазических кластеров в костном мозге больных апластической анемией до 81% в костном мозге больных в активной фазе острого лимфобластного лейкоза, что свидетельствует об интенсивности лизиса в них эритроцитов. С наибольшей интенсивностью лизис эритроцитов происходил в костном мозге больных в активную фазу острого лимфобластного лейкоза и больных хроническим миелолейкозом. При этом в момент исследования подвергались деструкции в эритроклазических кластеров десятки тысяч эритроцитов в мкл костного мозга. Эти данные подтверждают представление о костном мозге как органе гемолиза. ...
28 08 2019 18:35:10
Статья в формате PDF 253 KB...
27 08 2019 3:48:16
Статья в формате PDF 110 KB...
26 08 2019 12:57:41
Статья в формате PDF 104 KB...
25 08 2019 20:26:12
Статья в формате PDF 127 KB...
24 08 2019 12:20:54
Статья в формате PDF 119 KB...
23 08 2019 21:33:33
Статья в формате PDF 249 KB...
22 08 2019 18:36:20
Приведены аномальные структуры геохимических полей ( А С Г П) по вторичным ореолам рассеяния месторождений и проявлений эптермального золото-серебряного оруденения. Оруденение в регионах связано с венд-раннекембийскими и среднедевонскими вулканогенными образованиями. Показаны различные наборы аномальных значений химических элементов в зонах ядерного концентрирования, транзита элементов и фронтальных зонах концентрирования. Оценен условный потенциал ионизации в зональных конструкциях А С Г П, показывающих кислотно – основной потенциал среды минералообразования. Проведен факторный анализ для всех зон А С Г П c показом эллипсоидов изменчивости и факторных нагрузок. ...
21 08 2019 23:29:25
Статья в формате PDF 115 KB...
20 08 2019 12:37:24
Статья в формате PDF 683 KB...
19 08 2019 23:34:39
Статья в формате PDF 120 KB...
17 08 2019 21:14:45
Статья в формате PDF 98 KB...
16 08 2019 4:29:35
Статья в формате PDF 115 KB...
15 08 2019 2:57:20
Статья в формате PDF 236 KB...
13 08 2019 22:34:45
Проведена инвентаризация лихенофлоры Республики Татарстан ( Р Т). Показана роль особо охраняемых природных территорий в сохранении флористического разнообразия. Дан спектр семейств редких видов во флоре обследованной территории и анализ состава географических элементов. Рассмотрено распределение редких видов по основным типам местообитаний. Даются некоторые сведения о редких и исчезающих лишайниках для включения в Красную книгу Р Т. ...
11 08 2019 11:19:36
Статья в формате PDF 157 KB...
10 08 2019 5:24:32
Статья в формате PDF 109 KB...
09 08 2019 18:48:25
Статья в формате PDF 107 KB...
08 08 2019 17:51:36
Проведен анализ эффективности различных типов фитнес-программ в коррекции избыточной массы тела женщин юношеского и зрелого возраста. Применяемые физические нагрузки отличались характером нагрузки и наличию/отсутствию компонента коррекции питания. Исследовали антропометрические показатели, И М Т, определяли содержание жировой массы в организме методом калипометрии в динамике 6-месячного тренировочного цикла. Проводили промежуточные исследования: в середине, через 3 месяца от начала тренировочного цикла. В исследовании приняли участие 93 практически здоровые женщины с избыточной массой тела, не имеющие эндокринных заболеваний и противопоказаний к занятиям физической культурой. Выделены группы в зависимости от типа программы (I, II), а также подгруппы (Ia, IIa) в зависимости от возраста: 18–21 год (I и II, n = 17 и n = 17, соответственно) и 36–45 лет (Ia, IIa, n = 30 и n = 29, соответственно). Показана динамика и статистическая значимость различий в группах, проведен сравнительный анализ между группами. Выявлена более высокая физиологическая эффективность программы I, базирующейся на смешанном характере тренировки, многовариантной схеме упражнений с мониторированием и коррекцией характера питания. ...
07 08 2019 19:34:50
Статья в формате PDF 104 KB...
06 08 2019 3:35:54
Обсуждаются разбиения 3D пространства на модулярные ячейки с целью последующего конструирования невырожденных модулярных 3D структур кристаллов. ...
05 08 2019 10:57:14
Статья в формате PDF 115 KB...
03 08 2019 1:50:41
Химиотерапевтические средства в комплексе с хирургическими операциями широко используются для лечения онкологических больных. Несмотря на то, что арсенал этих препаратов широко представлен, все эти препараты обладают высокой токсичностью. Результаты цитогенетических исследований, проводимых на семенах пшеницы безостая – 1 показали, что 0,01; 0,02 и 0,05 % растворы исследуемого вещества не обладают цитотоксичностью, и лишь в разведении 0,1 % обнаруживает слабое цитотоксическое действие. Методом биотеста было выявлено, что при внутрибрюшинном введении белым мышам 1 мл раствора 4-аммоний пиридин тетрахлорпалладита исследуемое вещество обнаруживает высокую токсичность, которая усиливается со времени, начиная с момента введения, и зависит от концентрации введенного раствора. ...
02 08 2019 11:26:21
Приведены данные по петрологии и потенциальной рудоносности умеренно-щелочных гранитоидов Нагорного Сангилена, которые по сумме признаков отнесены к анорогенному типу. Показано ведущее значение в генерации этих фельзических интрузивных образований флюидного режима, в котором доминирующую роль играли концентрации плавиковой кислоты. ...
01 08 2019 23:11:28
В данной работе предложена эволюционная модель формирования двумерных структур. Определены алгоритмы формирования структур в априори структурированном двумерном пространстве путем заполнения его в соответствии с определенными эволюционными правилами. ...
30 07 2019 4:12:50
Статья в формате PDF 111 KB...
28 07 2019 14:41:35
Статья в формате PDF 121 KB...
27 07 2019 23:25:51
Статья в формате PDF 117 KB...
26 07 2019 6:41:28
Статья в формате PDF 119 KB...
25 07 2019 10:50:49
Статья в формате PDF 282 KB...
24 07 2019 12:22:51
Статья в формате PDF 251 KB...
23 07 2019 5:25:49
Статья в формате PDF 120 KB...
22 07 2019 20:14:44
Статья в формате PDF 119 KB...
21 07 2019 9:30:19
Статья в формате PDF 304 KB...
20 07 2019 18:16:12
Статья в формате PDF 123 KB...
19 07 2019 20:35:45
Статья в формате PDF 245 KB...
18 07 2019 17:28:33
Статья в формате PDF 130 KB...
17 07 2019 19:35:59
Еще:
Обзоры -1 :: Обзоры -2 :: Обзоры -3 :: Обзоры -4 :: Обзоры -5 :: Обзоры -6 :: Обзоры -7 :: Обзоры -8 :: Обзоры -9 :: Обзоры -10 :: Обзоры -11 ::
Последовательность подготовки научной работы может быть такой: