О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ С ГЛАДКОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ
Источник:
Рассмотрим следующую краевую задачу:
(1)
с граничными условиями
(2)
где потенциал q(x) - суммируемая функция, удовлетворяющая условию
(3)
В уравнении (1) число λ - спектральный параметр, функция ρ(x) называется весовой функцией, функция q(x) называется потенциалом, число n - порядок дифференциального оператора (1)-(2), n = 2, 3, 4, ...
Мы будем предполагать, что весовая функция ρ(x) является достаточно гладкой: .
Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n = 2, ρ(x) = 1 другой метод был продемонстрирован в фундаментальной работе [1].
Кроме дифференциального уравнения (1), рассмотрим также вспомогательное дифференциальное уравнение
(4)
Для изучения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач, связанных с дифференциальным уравнением (1), необходимо знать асимптотику решений дифференциальных уравнений (1) и (4).
Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием .
Пусть ωk - корни n-й степени из единицы, то есть n = 2, 3, 4, ...; k = 1, 2, ..., n - 1, n. Эти числа удовлетворяют следующим свойствам: m = 1, 2, 3, ..., n - 1.
Теорема 1. Решение дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:
(5)
где yk(x, s) (k = 1, 2, ..., n) - фундаментальная система решений вспомогательного дифференциального уравнения (4), Δ0(s) - определитель Вронского этих решений:
при этом несложно доказать, что Δ0(s) не зависит от x, Ck(k = 1,2,...,n) - произвольные постоянные.
Из формулы (5) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). Для дифференциального оператора второго порядка это было сделано автором в работе [2].
При этом из теоремы 1 видно, что для нахождения асимптотики решений дифференциального уравнения (1) необходимо знать асимптотику решений { yk (x,s) , k = 1,2,..,n } вспомогательного дифференциального уравнения (4) при больших значениях спектрального параметра λ (то есть асимптотику при |s| → + ∞ ).
Теорема 2. Общее решение вспомогательного дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид:
(6)
где Ck (k = 1,2,..,n) - произвольные постоянные, yk(x, s) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (4), причём при |s| → + ∞ ). справедливы следующие асимптотические разложения:
k = 1,2, .., n (7)
Идею разложения вида (7) мы нашли в монографии М.В. Федорюка [3].
Введём следующие обозначения:
(8)
Через «+...» в формулах (7) и (8) обозначены следующие выражения:
Условие позволяет асимптотические разложения вида (7) дифференцировать почленно n раз (n = 2, 3, ...). При этом мы получим:
(9)
При этом в формуле (10) Ψm-8 (x) - некоторая функция, причём если у сомножителя (aωks)m-p (p = 1, 2, 3, ...) степень m - p становится меньше нуля, то это слагаемое обнуляется.
Приведём ещё пару формул для Фpn (x,s) в равенстве (9):
При этом на коэффициенты Bpn,m, Dpn,m, E pn,m, (p = 1, 2, 3, ...) из формул (10)-(12) нами впервые получены реккурентные соотношения, из которых методом математической индукции можно вывести формулы для этих коэффициентов в явном виде и тем самым получить асимптотические формулы для решений вспомогательного дифференциального уравнения (4) (и дифференциального уравнения (1) тоже), а также асимптотические формулы для собственных значений краевой задачи (1)-(2).
Например:
Если мы подставим формулы (9)-(13) при n = 2 (или при n = 3) в дифференциальное уравнение (1) (при n = 2, или при n = 3), приведём подобные слагаемые и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях s (этот метод называется методом последовательных приближений Хорна), то найдём в явном виде коэффициенты A1k2 (x), A2k2 (x), .. (или A1k3 (x), A2k3 (x),.. ). Это не было сделано ни в монографии [3], ни в других работах.
Впервые это было сделано автором в §3 главы 5 монографии [4].
Приведём явные формулы, полученные нами.
Введём необходимые нам обозначения:
Из формул (9)-(13) получаем:
(15)
(17)
Список литературы
- Винокуров В.А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
- Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией. - Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2008. - №8/1(67). - С. 172-187.
- Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983. - 352 с.
- Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. - М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.
Отзывы (через Facebook):
Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:
Статья в формате PDF 141 KB...
28 02 2021 12:25:57
Статья в формате PDF 220 KB...
26 02 2021 17:43:46
Статья в формате PDF 123 KB...
25 02 2021 10:34:36
В статье раскрываются новые знания, которые становятся стратегическим ресурсом, обеспечивают России статус великой державы и формирование упреждающей реакции на скрытые угрозы национальным интересам. Паспорта научных специальностей способствуют консолидации интеллектуальных ресурсов страны на самых актуальных направлениях исследований. Выявленные различия характеризуют определяющую роль паспорта научной специальности в резонансном взаимодействии с диссертационными работами, при наличии которого достигается соответствие предмета исследования паспорту научной специальности. Резонансное взаимодействие объекта и субъекта в научном творчестве при выполнении диссертационной работы составляет основной принцип интеллектуальной информационной технологии как инструмента научного творчества. ...
22 02 2021 23:50:42
Статья в формате PDF 111 KB...
21 02 2021 12:57:50
Статья в формате PDF 110 KB...
20 02 2021 14:38:23
Статья в формате PDF 112 KB...
19 02 2021 0:21:46
Статья в формате PDF 106 KB...
17 02 2021 21:46:48
Статья в формате PDF 156 KB...
16 02 2021 6:38:33
Статья в формате PDF 139 KB...
15 02 2021 14:32:28
Статья в формате PDF 116 KB...
14 02 2021 17:51:59
Под наблюдением автора было 262 больных острым холециститом. Обсуждаются вопросы адаптации больных к условиям операционного и послеоперационного периодов, которая зависит от окислительно-восстановительных процессов, обусловленных функционированием ферментативных систем, гипоксии тканей, снижения приспособительных реакций, особенно выраженных у лиц старше 50 лет. В контрольной группе (178) больных уже при поступлении в клинику намечалась тенденция к снижению Р О2 в подкожно-жировой основе, а в момент операции оно было выраженным и устойчивым, которое держалось в течение 6 дней. Так же на всем протяжении послеоперационного периода у больных наблюдалось уменьшение кислородной емкости крови, концентрации SH-групп в плазме крови, только к моменту выписки эти показатели приближались к норме. Концентрация молочной и пировиноградной кислот крови тоже было повышенным. В исследуемой группе (84) больных, которые получали в комплексном лечении во время операции и послеоперационном периоде ганглиоблокаторы и гепарин, напряжение кислорода во время операции повышалось на 68%, повышение сохранялось 2-3 дня, а к концу 5 дня р О2 было в пределах нормы. Намечалась тенденция увеличения кислородной емкости крови и SH-групп в плазме. Не смотря на то, что при поступлении лактат и пируват были выше контроля, уже в первый день после операции эти показатели были ниже контрольных. Автор делает вывод о том, что применение в комплексном лечении ганглиоблокаторов и гепарина, позволяло улучшать кислородный баланс крови и ткани и, улучшать окислительновосстановительные процессы, адаптацию организма больного к стрессовым условиям, что способствовало снижению процента послеоперационных осложнений и летальности. ...
13 02 2021 7:51:31
Статья в формате PDF 175 KB...
12 02 2021 15:25:15
Статья в формате PDF 305 KB...
09 02 2021 17:51:22
Статья в формате PDF 90 KB...
08 02 2021 14:33:43
Статья в формате PDF 552 KB...
07 02 2021 6:12:42
Статья в формате PDF 217 KB...
06 02 2021 13:22:33
Статья в формате PDF 109 KB...
05 02 2021 22:44:47
Статья в формате PDF 119 KB...
04 02 2021 22:53:46
Статья в формате PDF 109 KB...
03 02 2021 7:14:28
Статья в формате PDF 141 KB...
02 02 2021 7:22:24
Статья в формате PDF 147 KB...
01 02 2021 22:57:14
Статья в формате PDF 142 KB...
31 01 2021 21:28:13
Статья в формате PDF 102 KB...
29 01 2021 6:40:19
Статья в формате PDF 281 KB...
28 01 2021 13:22:33
Статья в формате PDF 172 KB...
26 01 2021 0:29:34
Статья в формате PDF 295 KB...
25 01 2021 13:25:19
Статья в формате PDF 286 KB...
24 01 2021 15:27:36
Статья в формате PDF 116 KB...
23 01 2021 7:48:56
Статья в формате PDF 121 KB...
22 01 2021 2:32:10
Статья в формате PDF 129 KB...
21 01 2021 22:46:21
Статья в формате PDF 136 KB...
20 01 2021 14:12:39
Статья в формате PDF 293 KB...
19 01 2021 12:56:31
Статья в формате PDF 244 KB...
18 01 2021 12:22:33
Статья в формате PDF 257 KB...
17 01 2021 13:30:49
Статья в формате PDF 119 KB...
15 01 2021 6:16:37
Статья в формате PDF 104 KB...
12 01 2021 2:38:14
Статья в формате PDF 145 KB...
11 01 2021 23:59:34
Статья в формате PDF 98 KB...
10 01 2021 22:41:33
Статья в формате PDF 134 KB...
08 01 2021 5:47:16
Статья в формате PDF 251 KB...
07 01 2021 2:26:17
Статья в формате PDF 308 KB...
06 01 2021 9:58:23
Статья в формате PDF 136 KB...
05 01 2021 7:37:18
Статья в формате PDF 112 KB...
04 01 2021 10:47:50
Статья в формате PDF 126 KB...
03 01 2021 8:14:15
Статья в формате PDF 112 KB...
02 01 2021 8:10:12
Статья в формате PDF 244 KB...
01 01 2021 22:27:24
Предложен новый подход к построению педагогической системы учителя. Выделена ее основная цель: формирование навыка понимания. Предложен путь ее реализации, включающий согласование целей обучения, разработку новой программы и новых форм и методов обучения. Выявлены некоторые трудности обучения, затрудняющие формирование навыка понимания. ...
31 12 2020 16:25:17
Статья в формате PDF 100 KB...
30 12 2020 8:52:38
Статья в формате PDF 145 KB...
29 12 2020 7:42:58
Статья в формате PDF 153 KB...
27 12 2020 16:54:29
Статья в формате PDF 102 KB...
26 12 2020 8:31:19
Статья в формате PDF 129 KB...
25 12 2020 6:28:20
Статья в формате PDF 107 KB...
24 12 2020 4:42:41
Статья в формате PDF 130 KB...
23 12 2020 8:55:10
Статья в формате PDF 94 KB...
22 12 2020 10:29:13
Статья в формате PDF 121 KB...
21 12 2020 18:18:23
В настоящее время одной из наиболее обсуждаемых является тема воздействия интеллигенции на общественно-экономическую жизнь. Интеллигенция, являясь наиболее образованной группой общества, является монополистом в области на духовного и интеллектуального производства. По мере ускорения научно-технического прогресса данная тенденция усиливается. ...
20 12 2020 19:57:36
Статья в формате PDF 124 KB...
19 12 2020 0:30:49
Статья в формате PDF 197 KB...
18 12 2020 0:24:47
В сообщении представлены сведения о трансформации населения охотничье-промысловых млекопитающих при освоении Чаяндинского лицензионного участка ( Западная Якутия). Материалы собраны в 2009–2011 гг. В результате проведенных учетных работ и опросных сведений на территории лицензионного участка выявлено обитание 10 видов охотничье-промысловых млекопитающих из 20 видов, обитающих на территории Западной Якутии. На настоящий момент существенных изменений численности охотничье-промысловых животных на лицензионном участке не происходит. В целом воздействие геологоразведочных работ на нефть и газ носят локальный характер. ...
15 12 2020 23:39:32
Статья в формате PDF 150 KB...
12 12 2020 4:32:11
Построена математическая модель системы управления качеством образования филиала В У За с учетом влияния внешних информационных связей, проведена оценка критерия качества и улучшения внешних связей вследствие внедрения информационной системы. ...
11 12 2020 19:30:21
Статья в формате PDF 267 KB...
09 12 2020 11:53:19
Статья в формате PDF 108 KB...
08 12 2020 22:52:46
Получены уравнения конвекции и конвективной диффузии двухкомпонентных смесей в магнитном поле. Исследованы различные частные случаи. Решена задача о конвективном движении смеси вблизи вертикальной пластины, на поверхности которой происходит гетерогенная химическая реакция. Библиогр. 4 назв. ...
07 12 2020 11:33:14
Статья в формате PDF 110 KB...
06 12 2020 2:32:45
Статья в формате PDF 147 KB...
05 12 2020 20:39:48
Статья в формате PDF 102 KB...
04 12 2020 6:27:36
Статья в формате PDF 102 KB...
03 12 2020 14:44:42
Статья в формате PDF 127 KB...
02 12 2020 6:14:17
Статья в формате PDF 101 KB...
01 12 2020 20:27:21
Статья в формате PDF 126 KB...
30 11 2020 15:51:22
Статья в формате PDF 112 KB...
29 11 2020 8:36:35
Статья в формате PDF 146 KB...
28 11 2020 8:18:14
Статья в формате PDF 116 KB...
27 11 2020 22:33:20
В Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам осуществлена государственная регистрация оригинального алгоритма и базы данных «Drug», позволяющих прогнозировать новые виды действия известных лекарственных средств. Программа основана на сравнении набора квантово-химических и геометрических дескрипторов молекул методами многомерной статистики. Результаты работы алгоритма получили практическое подтверждение для четырех препаратов. ...
26 11 2020 2:20:52
Статья в формате PDF 133 KB...
25 11 2020 15:40:49
Статья в формате PDF 105 KB...
24 11 2020 14:33:26
Статья в формате PDF 130 KB...
23 11 2020 22:28:44
Статья в формате PDF 131 KB...
22 11 2020 21:22:24
Статья в формате PDF 302 KB...
21 11 2020 13:17:47
Статья в формате PDF 256 KB...
18 11 2020 18:13:30
Статья в формате PDF 263 KB...
17 11 2020 16:27:28
Статья в формате PDF 255 KB...
15 11 2020 15:10:23
Статья в формате PDF 131 KB...
14 11 2020 6:37:30
Статья в формате PDF 227 KB...
13 11 2020 15:18:14
Статья в формате PDF 103 KB...
11 11 2020 0:13:51
Статья в формате PDF 151 KB...
10 11 2020 21:49:38
Для налаживания лесной аренды и рационализации лесопользования, прежде всего, в части заготовки кругляка выборочными рубками деревьев по долгосрочным проектам освоения лесов, требуется сортиментацию проводить непосредственно в конкретном лесном древостое, причем задолго до проведения самой заготовки древесины. На основе применения биотехнических закономерностей и простой шкалы качества сортиментов показана методика сортиментации лесных деревьев. ...
09 11 2020 1:26:28
Статья в формате PDF 126 KB...
08 11 2020 8:32:38
На основе введённых функций состояния для электромагнитного поля и зарядовой функции состояния для частиц выведена полная система уравнений Максвелла для электродинамики. Показано, что закон сохранения зарядов есть следствие существования этой функции. Показано также, что в вакууме электромагнитное поле отсутствует, что подтверждает справедливость теории дальнодействия. ...
07 11 2020 7:37:55
Статья в формате PDF 314 KB...
06 11 2020 9:56:39
Статья в формате PDF 217 KB...
05 11 2020 11:21:25
Статья в формате PDF 255 KB...
04 11 2020 7:25:50
Статья в формате PDF 119 KB...
03 11 2020 15:25:58
В настоящей статье представлена многокритериальная математическая модель организации личностно-ориентированного обучения учащихся. Построена экстремальная модель на языке теории гиперграфов. ...
02 11 2020 18:21:42
Статья в формате PDF 117 KB...
01 11 2020 15:31:11
Статья в формате PDF 144 KB...
31 10 2020 23:57:56
Статья в формате PDF 113 KB...
29 10 2020 17:41:36
Статья в формате PDF 106 KB...
26 10 2020 18:16:38
Проводился анализ изменений биоэлектрической активности головного мозга и сверхмедленной активности в нервной, дыхательной и сердечно-сосудистой системах в процессе адаптивного биоуправления с биологической обратной связью по параметрам церебральной гемодинамики и медитации. Осуществлялась регистрация сверхмедленной активности нервной и сердечно-сосудистой систем и локализация биоэлектрической активности нервной системы. Выявлено вовлечение различных мозговых структур в реализацию поведенческих стратегий в группах обучившихся различным видам самоуправления, что говорит о различии механизмов достижения конечного результата. Полученные результаты свидетельствуют о вовлечении кардиореспираторной синхронизации в изменение биоэлектрической активности только при релаксации с помощью адаптивного биоуправления. Осуществлена проверка резонансной гипотезы релаксации, согласно которой при совпадении частот изменения дыхания, биоэлектрической активности мозга, сердечного ритма и сосудистого тонуса происходит усиление активности в вовлекаемых в резонансный ответ структурах. ...
25 10 2020 8:24:57
Статья в формате PDF 127 KB...
24 10 2020 16:29:52
Статья в формате PDF 106 KB...
22 10 2020 7:28:32
Статья в формате PDF 342 KB...
21 10 2020 22:20:43
Статья в формате PDF 99 KB...
20 10 2020 2:16:27
Статья в формате PDF 113 KB...
19 10 2020 16:38:52
Статья в формате PDF 112 KB...
18 10 2020 20:22:57
Статья в формате PDF 171 KB...
17 10 2020 16:36:29
Статья в формате PDF 259 KB...
16 10 2020 17:17:50
Статья в формате PDF 103 KB...
15 10 2020 6:25:17
Статья в формате PDF 101 KB...
13 10 2020 10:15:46
Статья в формате PDF 254 KB...
12 10 2020 8:40:22
Статья в формате PDF 640 KB...
11 10 2020 12:42:49
Статья в формате PDF 317 KB...
10 10 2020 5:47:33
Статья в формате PDF 204 KB...
09 10 2020 4:13:16
Обследовано 19 здоровых людей и 33 пациента с описторхозом и холелитиазом. Проведена сравнительная оценка некоторых показателей холестеринового, пигментного, белкового обмена в пузырной и печеночной порции желчи у обследованных пациентов до и после терапии бильтрицидом и урсосаном. Выявлено, что у пациентов с описторхозом и холелитиазом в эффективные сроки после монотерапии бильтрицидом отмечается значимое превышение концентрации непрямого билирубина, холестерина и белка в пузырной желчи по сравнению со здоровыми людьми, что свидетельствует о сохранении остаточных явлений при значительном улучшении пигментного обмена и снижении литогенных свойств желчи. Включение в схему подготовки и проведения антигельминтной терапии урсосана позволяет достигнуть наибольшего гиполитогенного состояния пузырной порции желчи в эффективные сроки после терапии бильтрицидом. ...
08 10 2020 13:27:15
Статья в формате PDF 120 KB...
07 10 2020 21:35:52
Статья в формате PDF 320 KB...
06 10 2020 22:11:31
Статья в формате PDF 115 KB...
05 10 2020 5:37:48
Статья в формате PDF 178 KB...
04 10 2020 19:38:14
Статья в формате PDF 99 KB...
03 10 2020 21:39:59
Статья в формате PDF 376 KB...
02 10 2020 21:53:59
Еще:
Обзоры -1 :: Обзоры -2 :: Обзоры -3 :: Обзоры -4 :: Обзоры -5 :: Обзоры -6 :: Обзоры -7 :: Обзоры -8 :: Обзоры -9 :: Обзоры -10 :: Обзоры -11 ::
Последовательность подготовки научной работы может быть такой: