О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ С ГЛАДКОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ
Источник:
Рассмотрим следующую краевую задачу:
(1)
с граничными условиями
(2)
где потенциал q(x) - суммируемая функция, удовлетворяющая условию
(3)
В уравнении (1) число λ - спектральный параметр, функция ρ(x) называется весовой функцией, функция q(x) называется потенциалом, число n - порядок дифференциального оператора (1)-(2), n = 2, 3, 4, ...
Мы будем предполагать, что весовая функция ρ(x) является достаточно гладкой: .
Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n = 2, ρ(x) = 1 другой метод был продемонстрирован в фундаментальной работе [1].
Кроме дифференциального уравнения (1), рассмотрим также вспомогательное дифференциальное уравнение
(4)
Для изучения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач, связанных с дифференциальным уравнением (1), необходимо знать асимптотику решений дифференциальных уравнений (1) и (4).
Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием .
Пусть ωk - корни n-й степени из единицы, то есть n = 2, 3, 4, ...; k = 1, 2, ..., n - 1, n. Эти числа удовлетворяют следующим свойствам: m = 1, 2, 3, ..., n - 1.
Теорема 1. Решение дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:
(5)
где yk(x, s) (k = 1, 2, ..., n) - фундаментальная система решений вспомогательного дифференциального уравнения (4), Δ0(s) - определитель Вронского этих решений:
при этом несложно доказать, что Δ0(s) не зависит от x, Ck(k = 1,2,...,n) - произвольные постоянные.
Из формулы (5) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). Для дифференциального оператора второго порядка это было сделано автором в работе [2].
При этом из теоремы 1 видно, что для нахождения асимптотики решений дифференциального уравнения (1) необходимо знать асимптотику решений { yk (x,s) , k = 1,2,..,n } вспомогательного дифференциального уравнения (4) при больших значениях спектрального параметра λ (то есть асимптотику при |s| → + ∞ ).
Теорема 2. Общее решение вспомогательного дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид:
(6)
где Ck (k = 1,2,..,n) - произвольные постоянные, yk(x, s) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (4), причём при |s| → + ∞ ). справедливы следующие асимптотические разложения:
k = 1,2, .., n (7)
Идею разложения вида (7) мы нашли в монографии М.В. Федорюка [3].
Введём следующие обозначения:
(8)
Через «+...» в формулах (7) и (8) обозначены следующие выражения:
Условие позволяет асимптотические разложения вида (7) дифференцировать почленно n раз (n = 2, 3, ...). При этом мы получим:
(9)
При этом в формуле (10) Ψm-8 (x) - некоторая функция, причём если у сомножителя (aωks)m-p (p = 1, 2, 3, ...) степень m - p становится меньше нуля, то это слагаемое обнуляется.
Приведём ещё пару формул для Фpn (x,s) в равенстве (9):
При этом на коэффициенты Bpn,m, Dpn,m, E pn,m, (p = 1, 2, 3, ...) из формул (10)-(12) нами впервые получены реккурентные соотношения, из которых методом математической индукции можно вывести формулы для этих коэффициентов в явном виде и тем самым получить асимптотические формулы для решений вспомогательного дифференциального уравнения (4) (и дифференциального уравнения (1) тоже), а также асимптотические формулы для собственных значений краевой задачи (1)-(2).
Например:
Если мы подставим формулы (9)-(13) при n = 2 (или при n = 3) в дифференциальное уравнение (1) (при n = 2, или при n = 3), приведём подобные слагаемые и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях s (этот метод называется методом последовательных приближений Хорна), то найдём в явном виде коэффициенты A1k2 (x), A2k2 (x), .. (или A1k3 (x), A2k3 (x),.. ). Это не было сделано ни в монографии [3], ни в других работах.
Впервые это было сделано автором в §3 главы 5 монографии [4].
Приведём явные формулы, полученные нами.
Введём необходимые нам обозначения:
Из формул (9)-(13) получаем:
(15)
(17)
Список литературы
- Винокуров В.А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
- Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией. - Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2008. - №8/1(67). - С. 172-187.
- Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983. - 352 с.
- Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. - М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.
Отзывы (через Facebook):
Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:
Статья в формате PDF 103 KB...
19 10 2020 23:42:56
Статья посвящена решению проблемы сварки металлов, имеющих на поверхности тугоплавкие окисные пленки. Были проведены исследования дугового разряда обратной полярности, горящий между соплом плазменной горелки и изделием, возбуждаемый и стабилизируемый с помощью факела плазмы, в ходе экспериментов были получены сваренные образцы из цветных металлов и алюминия. ...
18 10 2020 20:52:50
Статья в формате PDF 294 KB...
17 10 2020 18:31:45
Статья в формате PDF 252 KB...
16 10 2020 0:19:53
Статья в формате PDF 115 KB...
15 10 2020 3:27:58
Статья в формате PDF 295 KB...
14 10 2020 8:40:36
Статья в формате PDF 120 KB...
13 10 2020 21:47:54
Статья в формате PDF 529 KB...
12 10 2020 14:14:18
Статья в формате PDF 112 KB...
09 10 2020 13:42:47
Статья в формате PDF 139 KB...
07 10 2020 16:44:56
Статья в формате PDF 110 KB...
06 10 2020 12:43:47
Статья в формате PDF 250 KB...
05 10 2020 21:45:59
По мере прогрессирования В И Ч-инфекции наблюдается дисбаланс в выработке цитокинов, характеризующийся переключением Тh-1 ответа на Тh-2. Это, в свою очередь, приводит к прогрессированию иммуносупрессии и развитию оппортунистических инфекций. Определено, что IFN-γ, IL-2, IL-4, IL-10 и TGFβ могут обладать разнонаправленным действием в зависимости от локальных условий. Оценка иммунологических параметров может определять прогноз развития заболевания и коpрегировать интенсивность противовирусной терапии. ...
03 10 2020 6:55:22
Статья в формате PDF 166 KB...
01 10 2020 8:33:14
Статья в формате PDF 146 KB...
30 09 2020 7:56:38
Статья в формате PDF 136 KB...
29 09 2020 9:11:46
Статья в формате PDF 137 KB...
28 09 2020 8:30:42
Статья в формате PDF 112 KB...
27 09 2020 15:51:55
Статья посвящена актуальной проблеме – влиянию хронической алкогольной интоксикации на изменение морфоструктуры селезенки. Дана сравнительная гистологическая характеристика соединительно-тканного каркаса и белой пульпы селезенки у животных в эксперименте и у человека. Представлены дегенеративные изменения гистологической структуры селезенки. ...
26 09 2020 7:18:44
В статье изложены результаты исследования содержания таких биоэнергетически активных компонентов-углеводов и липидов в организме Trichocephalus trichiurus,Tr.muris в норме и после применения принятых терапевтических дозах Вермокса, Медамина и Дифезила. ...
25 09 2020 19:44:55
Установлено, что применение биопрепаратов биогумус, гуми и альбит при замачивании семян и некорневой подкормке раннеспелых гибридов огурца в пленочной теплице, положительно влияют на энергию прорастания и всхожесть семян, ускоряют рост и развитие растений огурца, сокращают межфазный период на 3- 4 дня, вегетационный период, на 5-6 дней. Благоприятно влияют на водный режим растений, увеличение ассимиляционной поверхности, фотосинтетический потенциал и урожайность. Наиболее эффективное действие оказывали биопрепараты биогумус и гумми на гибридах, отечественной селекции Арина и голландской Машенька. ...
23 09 2020 11:56:59
Авторами проведено комплексное исследование сосудистых и нервных структур всего органокомплекса брюшной полости, что позволило подтвердить общие морфологические закономерности, свойственные млекопитающим отряда хищных, выявить характерные видовые и внутривидовые особенности васкуляризации и иннервации у пушных зверей клеточного содержания. Полученные новые данные о морфологии сосудистых и нервных образований органов брюшной полости млекопитающих являются оригинальными и дают не только полное представление об изученных структурах, но позволяют морфофункционально интерпретировать адаптогенные процессы, протекающие в интегративно-координационных системах организма пушных зверей, находящихся под интенсивным антропогенным воздействием в процессе доместикации. ...
22 09 2020 6:14:25
Статья в формате PDF 118 KB...
21 09 2020 7:50:26
Статья в формате PDF 111 KB...
20 09 2020 1:52:14
Статья в формате PDF 115 KB...
19 09 2020 20:22:38
Статья в формате PDF 133 KB...
16 09 2020 9:31:24
Статья в формате PDF 108 KB...
15 09 2020 0:46:44
Статья в формате PDF 101 KB...
14 09 2020 21:44:34
Статья в формате PDF 140 KB...
13 09 2020 17:45:57
Статья в формате PDF 257 KB...
12 09 2020 0:18:16
Статья в формате PDF 114 KB...
11 09 2020 20:48:57
Статья в формате PDF 301 KB...
10 09 2020 22:21:26
Статья в формате PDF 245 KB...
09 09 2020 16:14:22
Статья в формате PDF 259 KB...
08 09 2020 11:11:43
Статья в формате PDF 354 KB...
07 09 2020 10:42:33
Статья в формате PDF 283 KB...
06 09 2020 5:15:35
Статья в формате PDF 278 KB...
05 09 2020 10:17:56
Статья в формате PDF 107 KB...
04 09 2020 3:41:18
Статья в формате PDF 92 KB...
03 09 2020 4:54:15
Статья в формате PDF 263 KB...
02 09 2020 13:24:57
Статья в формате PDF 105 KB...
01 09 2020 4:52:56
Представленная статья посвящена исследованию понятия честь в качестве фундаментальной категории права. В работе отмечено, что основой для соблюдения права, уважения к закону является честь. Данное понятие включает в себя такие качества, как целомудрие и благородство. Основным же назначением государства является защита чести своих граждан. Эта высокая миссия тесно связана с единственной целью государственности как формы человеческого бытия – с содействием духовному возрастанию человека. ...
29 08 2020 8:49:27
Статья в формате PDF 102 KB...
28 08 2020 12:46:43
Статья в формате PDF 132 KB...
27 08 2020 4:15:12
Статья в формате PDF 131 KB...
26 08 2020 17:48:59
Статья в формате PDF 232 KB...
25 08 2020 22:11:24
Статья в формате PDF 116 KB...
23 08 2020 15:57:14
Статья в формате PDF 348 KB...
22 08 2020 16:53:23
Статья в формате PDF 100 KB...
20 08 2020 17:16:58
Статья в формате PDF 105 KB...
19 08 2020 12:47:22
Статья в формате PDF 321 KB...
18 08 2020 14:20:30
Статья в формате PDF 113 KB...
16 08 2020 18:43:12
Статья в формате PDF 99 KB...
15 08 2020 19:11:44
Статья в формате PDF 121 KB...
14 08 2020 16:38:42
Статья в формате PDF 116 KB...
13 08 2020 8:28:27
Статья в формате PDF 96 KB...
12 08 2020 16:35:46
Статья в формате PDF 112 KB...
11 08 2020 11:49:40
Статья в формате PDF 300 KB...
10 08 2020 16:38:43
Статья в формате PDF 261 KB...
09 08 2020 7:47:13
Статья в формате PDF 121 KB...
07 08 2020 16:50:28
В статье представлены материалы о значении съездов земских врачей Рязанской губернии (1874 – 1900) и их роль в развитии профилактического направления медицины края. ...
06 08 2020 15:14:27
Статья в формате PDF 113 KB...
05 08 2020 3:50:44
Статья в формате PDF 192 KB...
04 08 2020 13:29:39
На основе системного анализа функционирования экономической деятельности промышленного предприятия введена его теоретическая кривая прогнозирования бизнеса и разработан алгоритм выхода на данную кривую в процессе стратегического управления развитием предприятия. ...
03 08 2020 4:10:37
Статья в формате PDF 138 KB...
02 08 2020 20:38:46
Статья в формате PDF 120 KB...
01 08 2020 6:42:37
Выбрать оптимальный метод введения больных в период реабилитации после черепно-мозговой травмы. Материалы и методы: За 2011 год в Новокуйбышевской центральной городской больницы пролечено 960 пострадавших с черепно-мозговой травмой, из них 780 пострадавших с сотрясением головного мозга. Все пациенты с сотрясением головного мозга, первых семь дней находились на стационарном лечении в условиях травматологического отделения. Под наблюдением врачей нейрохирурга, травматолога, невролога и окулиста, проводилась дегидратационная и симптоматическая терапия. После первой недели стационарного лечения данных пациентов разделили на три равных группы по 260 человек и в дальнейшем их вели по- разному. Результаты: Удовлетворительные результаты лечения получены в первой группе у 252 пациентов (97%), у второй группы 243 пациентов(93%), а в третьей 156 пациентов (60%). Один день дневного стационара в травматологическом отделение в Новокуйбышевской центральной городской больницы Н Ц Г Б стоит 360 рублей, а один день дневного стационара, стоит 190 рублей. Таким образом стоимость лечения пациентов первой группы = (7 + 7)·360 = 5040 рублей, стоимость лечения пациентов второй группы = 7·360 + 7·190 = 2520 + 1330 = 3850 рублей, стоимость лечения пациентов третьей группы = 7·360 = 2520 рублей. Из данных расчетов видно, что пациенты третьей группы, требует меньше расходов, но к сожалению, у них намного хуже результаты лечения. Результаты лечения пациентов первой и второй группы практически одинаковы, а стоимость пациентов второй группы намного меньше. ...
31 07 2020 3:22:44
Статья в формате PDF 133 KB...
30 07 2020 23:27:21
Статья в формате PDF 110 KB...
28 07 2020 17:53:23
Статья в формате PDF 269 KB...
27 07 2020 17:30:15
Статья в формате PDF 263 KB...
26 07 2020 13:59:38
Статья в формате PDF 100 KB...
25 07 2020 10:53:12
Статья в формате PDF 130 KB...
24 07 2020 5:18:33
Проведено комплексное психо-соматическое обследование 3280 женщин репродуктивного возраста с мастопатией. Сделан вывод о необходимости организации специализированных маммологических кабинетов для квалифицированной диагностики, лечения и психологической коррекции пациенток с заболеваниями молочных желез. ...
23 07 2020 23:22:44
Статья в формате PDF 311 KB...
22 07 2020 22:39:18
Статья в формате PDF 253 KB...
21 07 2020 4:27:27
Статья в формате PDF 123 KB...
20 07 2020 2:50:35
Статья в формате PDF 115 KB...
19 07 2020 19:46:43
Статья в формате PDF 116 KB...
18 07 2020 13:30:30
Статья в формате PDF 136 KB...
17 07 2020 13:40:11
Статья в формате PDF 101 KB...
16 07 2020 17:43:10
Статья в формате PDF 112 KB...
15 07 2020 12:56:53
Статья в формате PDF 123 KB...
14 07 2020 4:57:15
Статья в формате PDF 119 KB...
13 07 2020 11:24:30
Статья в формате PDF 101 KB...
12 07 2020 11:47:14
Статья в формате PDF 114 KB...
11 07 2020 12:48:27
Статья в формате PDF 115 KB...
10 07 2020 19:52:51
Статья в формате PDF 1463 KB...
09 07 2020 8:12:57
Статья в формате PDF 108 KB...
08 07 2020 16:20:36
Статья в формате PDF 120 KB...
07 07 2020 5:27:45
Статья в формате PDF 321 KB...
06 07 2020 11:40:46
На материале 769 клинических наблюдений проведен анализ причин возникновения острого панкреатита после эндоскопической папиллотомии. Установлено, что основой их развития является прямое повреждение главного протока поджелудочной железы. Разработаны способы профилактики постманипуляционных панкреатитов. ...
05 07 2020 15:10:40
Статья в формате PDF 241 KB...
04 07 2020 19:17:46
Статья в формате PDF 143 KB...
03 07 2020 23:18:12
Статья в формате PDF 135 KB...
02 07 2020 14:52:34
Статья в формате PDF 130 KB...
01 07 2020 9:45:54
Статья в формате PDF 124 KB...
29 06 2020 20:59:24
Статья в формате PDF 276 KB...
27 06 2020 23:19:16
Статья в формате PDF 342 KB...
26 06 2020 0:53:44
Статья в формате PDF 103 KB...
25 06 2020 2:50:16
Статья в формате PDF 257 KB...
24 06 2020 20:14:24
Статья в формате PDF 130 KB...
23 06 2020 8:14:49
Статья в формате PDF 153 KB...
22 06 2020 11:41:15
Статья в формате PDF 80 KB...
21 06 2020 2:10:27
Статья в формате PDF 104 KB...
20 06 2020 23:36:48
Статья в формате PDF 241 KB...
19 06 2020 11:44:53
Статья в формате PDF 261 KB...
18 06 2020 3:16:11
Статья в формате PDF 85 KB...
16 06 2020 9:49:52
Статья в формате PDF 112 KB...
14 06 2020 16:49:25
Статья в формате PDF 139 KB...
13 06 2020 9:26:36
Статья в формате PDF 293 KB...
12 06 2020 20:39:54
Статья в формате PDF 106 KB...
11 06 2020 6:18:34
Статья в формате PDF 101 KB...
10 06 2020 10:21:50
Статья в формате PDF 100 KB...
09 06 2020 22:59:13
Статья в формате PDF 172 KB...
08 06 2020 22:37:48
Статья в формате PDF 346 KB...
07 06 2020 0:34:54
Статья в формате PDF 124 KB...
05 06 2020 5:16:36
Проведен анализ общепринятых учений и научных теорий, имевших широкую аудиторию в вузах и научно-исследовательских институтах прошлого века. Выявлена недостаточность абстрактной потенции в мыслительной жизни homo sensus, главная альтернатива которой – эмоциональный мир, чувственность и вера. Свойство верить познающего субъекта не носит характер религиозности, однако имеет общие с ней основания. Роднит религию и научную веру стремление не понять, а принять смутные представления, сулящие сиюминутную пользу и выгоду, объединяет желание увидеть в таинственном и запредельном нечто к себе доброжелательное, освобождающее от мучительного предназначения думать и, следовательно, уводящее от необходимости работать – работать без самообмана, но эффективно и достойно homo sapiens. ...
04 06 2020 1:52:27
Статья в формате PDF 722 KB...
03 06 2020 9:11:57
Статья в формате PDF 99 KB...
02 06 2020 5:28:19
Костная ткань обладает целым рядом уникальных физических свойств. Наиболее ценными с производственной точки зрения, представляются только некоторые из них: жесткость, твердость, упругость, эластичность. Наш научный интерес проявился на два основных свойства: жесткость и эластичность. ...
01 06 2020 19:56:32
Статья в формате PDF 104 KB...
31 05 2020 2:29:11
Статья в формате PDF 835 KB...
29 05 2020 8:39:14
Статья в формате PDF 251 KB...
28 05 2020 20:23:22
Обсуждается сезонность рождения больных шизофренией. Исследовав 2017 случаев заболевания, авторы отмечают сезонность и гендерные различия в рождении больных шизофренией. Высказывается предположение, что одной из причин сезонных колебаний рождаемости больных, у мужчин, может быть патогенное действие вирусной инфекции на головной мозг плода во втором триместре беременности. ...
27 05 2020 21:22:26
Статья в формате PDF 279 KB...
26 05 2020 17:41:52
Статья в формате PDF 98 KB...
25 05 2020 14:30:31
Еще:
Обзоры -1 :: Обзоры -2 :: Обзоры -3 :: Обзоры -4 :: Обзоры -5 :: Обзоры -6 :: Обзоры -7 :: Обзоры -8 :: Обзоры -9 :: Обзоры -10 :: Обзоры -11 ::
Последовательность подготовки научной работы может быть такой: